매개변수변환법(媒介變數變換法, 영어: variation of parameters)은 비제차 상미분 방정식을 푸는 방법이다.
비제차 선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.
![{\displaystyle y^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{\left(n-1\right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left(x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e91aef8a4e904db10d71cc37c1df9156c829bdf)
위의 식은
![{\displaystyle y\left(x\right)=y_{h}\left(x\right)+y_{p}\left(x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264a5b15e82d48746b0b6172f88b76baaa7a5fff)
와 같은 일반해를 갖게 되는데, 매개변수변환법은
를 구하는 방법이다.
가 특정 형태를 가질 경우에는 미정계수법으로도 구할 수 있으나
가 미정계수법 표에 소개된 것과 비슷한 형태를 가질 때만 사용할 수 있는 단점이 있다. 이에 비해 매개변수변환법은 더 일반적으로 적용할 수 있는 장점이 있다.
고계 미분 방정식[편집]
이 2보다 큰 고계일 때,
를 구하는 방법은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&y_{p}\left(x\right)=\sum \limits _{k=1}^{n}{y_{k}\left(x\right)\int _{}^{}{{\frac {W_{k}\left(x\right)}{W\left(x\right)}}r\left(x\right)dx}}\\&=y_{1}\left(x\right)\int _{}^{}{{\frac {W_{1}}{W\left(x\right)}}r\left(x\right)dx+\cdots +y_{n}\left(x\right)\int _{}^{}{{\frac {W_{n}\left(x\right)}{W\left(x\right)}}r\left(x\right)dx}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b838c7d04b7003c273667fcff2c3737f087cc19)
는 이 함수들의 론스키 행렬식이고,
는
의 j번째 열을 열벡터
로 치환하여 얻어진다.
2계 미분 방정식[편집]
이 2일 때,
를 구하는 방법은 다음과 같다.
![{\displaystyle y_{p}\left(x\right)=-y_{1}\int _{}^{}{{\frac {y_{2}r}{W}}dx+y_{2}\int _{}^{}{{\frac {y_{1}r}{W}}dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2d7db1235ff2423856fd87843807361d76774f)
여기서
는 대응하는 제차 상미분 방정식의 해이고,
는
의 론스키 행렬식이다.
![{\displaystyle W=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af4f4068baea558f0d7e81073e495dc37991181)
외부 링크[편집]