순환 범주

호몰로지 대수학에서 순환 범주(循環範疇, 영어: cycle category)는 단체 범주를 부분 범주로 갖지만 꼭짓점들을 순환시키는 사상이 추가된 작은 범주이다. 순환 범주의 반대 범주를 정의역으로 갖는 함자를 순환 대상(循環對象, 영어: cyclic object)이라고 한다. 가군 범주 속의 순환 대상에 대하여 순환 호몰로지를 정의할 수 있다.

정의

순환 범주

순환 범주(循環範疇, 영어: cycle category) $\operatorname {Cyc}$는 다음과 같은 작은 범주이다.^{:202, Definition 6.1.1}

• $\operatorname {Cyc}$의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수) $n\in \mathbb {N}$이다.
• $\operatorname {Cyc}$의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다.

  $\delta _{n}^{i}\colon n-1\to n\qquad (0\leq i\leq n)$ (면 사상)

  $\sigma _{n}^{i}\colon n+1\to n\qquad (0\leq i\leq n)$ (퇴화 사상)

  $\tau _{n}\colon n\to n$ (순환 사상)

• 이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데, $\tau$를 포함하지 않는 것들은 단체 범주 $\triangle$의 정의에 등장하는 것과 같다.)

  $\delta _{n-1}^{j}\circ \delta _{n}^{i}=\delta _{n-1}^{i}\circ \delta _{n}^{j-1}\qquad (0\leq i<j)$

  $\sigma _{n+1}^{j}\circ \sigma _{n}^{i}=\sigma _{n+1}^{i}\circ \sigma _{n}^{j+1}\qquad (0\leq i\leq j)$

  $\sigma _{n}^{j}\circ \delta _{n+1}^{i}={\begin{cases}\delta _{n}^{i}\circ \sigma _{n-1}^{j-1}&i<j\\\operatorname {id} _{n}&i\in \{j,j+1\}\\\delta _{n}^{i-1}\circ \sigma _{n-1}^{j}&i>j+1\end{cases}}$

  $\overbrace {\tau _{n}\circ \dotsb \circ \tau _{n}} ^{n+1}=\operatorname {id} _{n}$

  $\tau _{n}\circ \delta _{n}^{i}=\delta _{n}^{i-1}\circ \tau _{n-1}\qquad (1\leq i\leq n)$

  $\tau _{n}\circ \sigma _{n}^{i}=\sigma _{n}^{i-1}\circ \tau _{n+1}\qquad (1\leq i\leq n)$

이제, 임의의 범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 순환 대상은 순환 범주의 반대 범주에서 ${\mathcal {C}}$로 가는 함자

$\operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}$

이다.

순환 대상의 구체적 정의

구체적으로, 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 순환 대상은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 단체 대상 $(X_{\bullet },\partial _{\bullet }^{i},d_{\bullet }^{i})$. 여기서 $\partial _{\bullet }^{i}\colon X_{\bullet }\to X_{\bullet -1}$는 면(面)이며, $s_{\bullet }^{i}\colon X_{\bullet }\to X_{\bullet -1}$는 퇴화 단체이다.
• 일련의 동형 사상들 $t_{n}\colon X_{n}\to X_{n}$, $n\in \mathbb {N}$

이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다.

• (순환의 순환성) $\overbrace {t_{n}\circ \dotsb \circ t_{n}} ^{n+1}=\operatorname {id} _{X_{n}}$. 특히, $t_{0}=\operatorname {id} _{X_{0}}$이다.
• (순환과 면의 호환) $\partial _{n}^{i}\circ t_{n}=t_{n-1}\circ \partial _{n}^{i-1}\qquad (1\leq i\leq n)$
• (순환과 퇴화 단체의 호환) $s_{n}^{i}\circ t_{n}=t_{n+1}\circ s_{n}^{i-1}\qquad (1\leq i\leq n)$

일반적 정의

순환 대상의 개념은 순환군 말고도 정이면체군이나 대칭군 등으로 일반화될 수 있다.

교차단체군(交叉單體群, 영어: crossed simplicial group)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 단체 집합 $G_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$
• 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, $G_{n}$ 위의 군 구조
• 임의의 $m,n\in \mathbb {N}$에 대하여, $\hom _{\triangle }(m,n)$ 위의, $G_{n}$의 오른쪽 군 작용 $\hom _{\triangle }(m,n)\times G_{n}\to \hom _{\triangle }(m,n)$

이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.^{:205, Proposition 6.1.6}

• 임의의 $\phi \in \hom _{\triangle }(m,n)$ 및 $\chi \in \hom _{\triangle }(n,p)$ 및 $g\in G_{p}$에 대하여,

  $(\chi \circ \phi )\cdot g=(\chi \cdot g)\circ \left(\phi \cdot G(\chi ^{\operatorname {op} })(g)\right)\in \hom _{\triangle }(m,p)$

• 임의의 $g,h\in G_{n}$ 및 $\phi \in \hom _{\triangle }(m,n)$에 대하여,

  $G(\phi ^{\operatorname {op} })(gh)=G(\phi \cdot h)^{\operatorname {op} }(g)G(\phi ^{\operatorname {op} })(h)\in G_{m}$

교차단체군의 예는 다음이 있다.

• 모든 단체군은 교차단체군이다. (그러나 단체군이 아닌 교차단체군이 존재한다.)
• 순환군 $G_{n}=\operatorname {Cyc} (n+1)$
• 정이면체군 $G_{n}=\operatorname {Dih} (n+1)$
• 쌍순환군 $G_{n}=\operatorname {Dic} (n+1)$
• 대칭군 $G_{n}=\operatorname {Sym} (n+1)$

교차단체군 $G_{\bullet }$이 주어졌을 때, 임의의 $\phi \in \hom _{\triangle }(m,n)$ 및 $g\in G_{n}$에 대하여 편의상

$g\cdot \phi =G(\phi ^{\operatorname {op} })(g)\in G_{m}$

로 표기하자. 이는

$g\cdot (\phi \circ \chi )=(g\cdot \phi )\cdot \chi$

를 만족시킨다.

교차단체군 $G_{\bullet }$가 주어졌을 때, 다음과 같은 작은 범주 $\triangle _{G_{\bullet }}$를 정의할 수 있다.

• $\triangle _{G_{\bullet }}$의 대상은 자연수이다. 즉, 단체 범주 $\triangle$의 대상과 같다.
• $\triangle _{G_{\bullet }}$의 사상들은 다음과 같은 꼴의 순서쌍이다.

  $\hom _{\triangle _{G_{\bullet }}}(m,n)=\hom _{\triangle }(m,n)\times G$

• 사상의 합성은 다음과 같다.^{:207, Corollary 6.1.7} 여기서, $g\in G_{n}$에 대하여 $\tau _{g}\colon \hom _{\triangle _{G_{\bullet }}}(n,n)$은 $(\operatorname {id} _{n},g)$에 대응하는 사상이며, $\phi \in \hom _{\triangle }(m,n)$이다.

  $\phi \circ \tau _{g}=(\phi ,g)\qquad (\phi \in \hom _{\triangle }(m,n),\;g\in G_{m}))$

  $\tau _{g}\circ \phi =(\phi \cdot g)\circ \tau _{g\cdot \phi }\qquad (\phi \in \hom _{\triangle }(m,n),\;g\in G_{n}))$

그렇다면, 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 $G_{\bullet }$-대상은 함자

$\triangle _{G_{\bullet }}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}$

이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.

$G_{n}=\operatorname {Cyc} (n+1)=\langle t_{n}|t_{n}^{n+1}=1\rangle$

$\delta ^{i}\cdot g={\begin{cases}\delta ^{i-1}&1\leq i\leq n\\\delta ^{n}&i=0\end{cases}}$

$\sigma ^{i}\cdot g={\begin{cases}\sigma ^{i-1}&1\leq i\leq n\\\sigma ^{n}&i=0\end{cases}}$

$t_{n}\cdot \delta _{n}^{i}={\begin{cases}t_{n-1}&i\geq 1\\1&i=0\end{cases}}$

$t_{n}\cdot \sigma _{n}^{i}={\begin{cases}t_{n+1}&i\geq 1\\t_{n+1}^{2}&i=0\end{cases}}$

그렇다면 이는 교차단체군을 정의하며, 이에 대한 $G_{\bullet }$-대상은 순환 대상이라고 한다.

성질

순환 범주 $\operatorname {Cyc}$는 스스로의 반대 범주와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 함자에 의하여 주어진다.^{:208, Proposition 6.1.11}

$\operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cyc}$

$n^{\operatorname {op} }\mapsto n$

$(\delta _{n}^{i})^{\operatorname {op} }\mapsto {\begin{cases}\sigma _{n-1}^{i}&i<n\\\sigma _{n-1}^{0}\circ \tau _{n}^{-1}&i=n\end{cases}}$

$(\sigma _{n}^{i})^{\operatorname {op} }\mapsto \delta _{n+1}^{i+1}$

사상

순환 범주 $\triangle _{\operatorname {Cyc} }$에서, 모든 사상 $f\colon m\to n$는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.^{:203, Theorem 6.1.3(2)}

$f'\circ \overbrace {t_{m}\circ \dotsb \circ t_{m}} ^{k}\qquad (f'\in \hom _{\triangle }(m,n),\;k\in \{0,1,\dotsc ,n\})$

보다 일반적으로, 임의의 교차단체군 $G_{\bullet }$에 대하여, 범주 $\triangle _{G_{\bullet }}$에서, 모든 사상은 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.

$\phi \circ \tau _{g}\colon \phi \in \hom _{\triangle }(m,n),\;g\in G_{m}$

순환 범주 $\triangle _{\operatorname {Cyc} }$에서, 다음이 성립한다.^{:202, Definition 6.1.1}

• $\tau _{n}\circ \delta _{n}^{0}=\delta _{n}^{n}$

증명:

${\begin{aligned}\tau _{n}\circ \delta _{n}^{0}&=\tau _{n}\circ \delta _{n}^{0}\circ \overbrace {\tau _{n-1}\circ \dotsb \circ \tau _{n-1}} ^{n}\\&=\tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \delta _{n}^{1}\circ \overbrace {\tau _{n-1}\circ \dotsb \circ \tau _{n-1}} ^{n-1}\\&=\tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \delta _{n}^{2}\circ \overbrace {\tau _{n-1}\circ \dotsb \circ \tau _{n-1}} ^{n-2}\\&\qquad \vdots \\&=\overbrace {\tau _{n}\circ \dotsb \circ \tau _{n}} ^{n+1}\circ \delta _{n}^{n}\\&=\delta _{n}\end{aligned}}$

• $\tau _{n}\circ \sigma _{n}^{0}=\sigma _{n}^{n}\circ \tau _{n+1}\circ \tau _{n+1}$

증명:

${\begin{aligned}\tau _{n}\circ \sigma _{n}^{0}&=\tau _{n}\circ \sigma _{n}^{0}\circ \overbrace {\tau _{n+1}\circ \dotsb \circ \tau _{n+1}} ^{n+2}\\&=\tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \sigma _{n}^{1}\circ \overbrace {\tau _{n+1}\circ \dotsb \circ \tau _{n+1}} ^{n+1}\\&=\tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \sigma _{n}^{1}\circ \overbrace {\tau _{n+1}\circ \dotsb \circ \tau _{n+1}} ^{n}\\&\qquad \vdots \\&=\overbrace {\tau _{n}\circ \dotsb \circ \tau _{n}} ^{n+1}\circ \sigma _{n}^{1}\circ \tau _{n+1}\circ \tau _{n+1}\\&=\sigma _{n}^{1}\circ \tau _{n+1}\circ \tau _{n+1}\end{aligned}}$

단체와의 관계

단체 범주 $\triangle$에서 순환 범주로 가는 포함 함자

$\triangle \hookrightarrow \triangle _{\operatorname {Cyc} }$

가 존재한다. 이는 충실한 함자이며, 대상 집합에 제한하면 전단사 함수이지만, 충만한 함자가 아니다 (즉, $\triangle _{\operatorname {Cyc} }$에는 $t_{n}$으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다).

이에 따라, 임의의 범주 ${\mathcal {C}}$에 대하여, ${\mathcal {C}}$-순환 대상의 범주에서 ${\mathcal {C}}$-단체 대상의 범주로 가는 망각 함자

$\hom(\operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} },{\mathcal {C}})\to \hom(\triangle ^{\operatorname {op} },{\mathcal {C}})$

가 존재하며, 이는 충실한 함자이지만 일반적으로 충만한 함자가 아닐 수 있다.

예

모든 성분이 자명군인 교차단체군 $1$을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 $\triangle _{1}$은 단체 범주 $\triangle$와 같다.

각 성분이 대칭군인 교차단체군

$G_{n}=\operatorname {Sym} (n+1)$

을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 $\triangle _{\operatorname {Sym} }$는 유한 집합과 함수의 작은 범주 $\operatorname {finSet}$와 동치이다.

결합 대수의 순환 가군

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

$C\colon n\mapsto A^{\otimes _{K}(n+1)}$

$C({\delta _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon C_{n}\to C_{n-1}$

$C({\delta _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto {\begin{cases}a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i-1}\otimes _{K}a_{i}a_{i+1}\otimes _{K}a_{i+2}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}&0\leq i<n\\a_{n}a_{0}\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}&i=n\end{cases}}$^{:45, (1.6.1.2)}

$C({\sigma _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon C_{n}\to C_{n+1}$

$C({\sigma _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i}\otimes _{K}1\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}a_{n}$^{:45, (1.6.1.2)}

$C(\tau _{n}^{\operatorname {op} })\colon C_{n}\to C_{n}$

$C(\tau _{n}^{\operatorname {op} })\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto (-)^{n}a_{n}\otimes _{K}a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}$^{:53, §2.1.0}

즉, 이는 $K$-가군 범주 $\operatorname {Mod} _{K}$ 속의 순환 가군을 이룬다. 이를 $A$에 대응되는 순환 가군(영어: cyclic module associated to $A$)이라고 한다.

이 구성은 결합 대수의 순환 호몰로지 및 호흐실트 호몰로지를 정의할 때 사용된다.

역사

알랭 콘이 1983년에 도입하였다.^:§2 이 논문에서 콘은 순환 범주를 “$\Lambda$”라고 표기하였다.^{:§2:201, Chapter 6}

교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치(폴란드어: Zbigniew Fiedorowicz)와 장루이 로데가 1991년에 도입하였다.

외부 링크

• “Cycle category”. 《nLab》 (영어). 
• “Cyclic set”. 《nLab》 (영어). 
• “cyclic object”. 《nLab》 (영어).