고립 특이점

복소해석학에서, 고립 특이점(孤立特異點, 영어: isolated singular point)은 주어진 함수가 스스로를 제외한 주위의 모든 점에서 복소숫값의 정칙 함수가 되는 특이점이다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$ 및 점 $z_{0}\in D$ 및 함수 $f\colon D\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$에 대하여, $f|_{N\cap D\setminus \{z_{0}\}}$가 정칙 함수가 되는 근방 $N\ni z_{0}$이 존재한다면, $z_{0}$을 $f$의 고립 특이점이라고 한다.

만약 0이 $z\mapsto f(1/z)$의 고립 특이점이라면, 무한대 ${\widehat {\infty }}$를 $f$의 고립 특이점이라고 한다.

분류

고립 특이점은 제거 가능 특이점, 극점, 본질적 특이점으로 분류된다.

구체적으로, 연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$ 및 점 $z_{0}\in D$ 및 함수 $f\colon D\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$가 주어졌고, $z_{0}$이 $f$의 고립 특이점이라고 하자.

제거 가능 특이점

그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $z_{0}$을 $f$의 제거 가능 특이점이라고 한다.^{:130, §4.2, 정리1}

• $f$는 $z_{0}$에서 해석적 연속을 갖는다. 즉, $g|_{N\cap D\setminus \{z_{0}\}}=f|_{N\cap D\setminus \{z_{0}\}}$인 근방 $N\ni z_{0}$ 및 정칙 함수 $g\colon N\cap D\to \mathbb {C}$가 존재한다.
• $\lim _{z\to z_{0}}f(z)$는 $\mathbb {C}$에서 존재한다.
• $f$는 $z_{0}$에서 국소 유계 함수이다. 즉, $f|_{N\cap D\setminus \{z_{0}\}}$가 유계 함수가 되는 근방 $N\ni z_{0}$이 존재한다.
• $\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z)=0$
• $f$의 $z_{0}$에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분은 0이다.

극점

또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $z_{0}$을 $f$의 극점이라고 한다.^{:130-131, §4.2, 정리2}

• $f$는 $z_{0}$에서 해석적 연속을 갖지 않으며, $1/f$는 $z_{0}$에서 해석적 연속을 갖는다.
• $\lim _{z\to z_{0}}f(z)={\widehat {\infty }}$
• $f$의 $z_{0}$에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 적어도 하나이며, 많아야 유한하다.

본질적 특이점

또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $z_{0}$을 $f$의 본질적 특이점이라고 한다.^{:132, §4.2, 정리3}

• $f$와 $1/f$는 $z_{0}$에서 해석적 연속을 갖지 않는다.
• $\lim _{z\to z_{0}}f(z)$는 ${\overline {\mathbb {C} }}$에서 존재하지 않는다.
• $f$의 $z_{0}$에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 무한하다.

무한대의 경우

무한대 ${\widehat {\infty }}$의 $f$의 고립 특이점으로서의 분류는 0의 $z\mapsto f(1/z)$의 고립 특이점으로서의 분류와 일치한다.

예

함수

$f_{1}\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}$

$f_{1}(z)={\frac {\sin z}{z}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$

는 0을 제거 가능 특이점으로 갖는다.

함수

$f_{2}\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}$

$f_{2}(z)={\frac {1}{z}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$

는 0을 극점으로 갖는다.

함수

$f_{3}\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}$

$f_{3}(z)=e^{1/z}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$

는 0을 본질적 특이점으로 갖는다.

0은 함수

$f_{4}\colon \mathbb {C} \setminus \{0,1/\pi ,1/2\pi ,\dots \}\to \mathbb {C}$

$f_{4}(z)=\csc {\frac {1}{z}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1/\pi ,1/2\pi ,\dots \}$

의 고립 특이점이 아니다.

전해석 함수

모든 전해석 함수 $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$는 ${\widehat {\infty }}$를 고립 특이점으로 갖는다. 이는 $f$가 상수 함수라면 제거 가능 특이점이며, $f$가 1차 이상의 다항 함수라면 극점이며, 초월 전해석 함수라면 본질적 특이점이다.

외부 링크

• “Isolated singular point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Isolated singularity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.