고이데 공식

고이데 공식(Koide formula), 고이데의 질량공식(일본어: 小出の質量公式)은 1981년 고이데 요시오가 발견한 경험적 공식으로, 1981년 발표된 기존 형태에서는 세 하전 경입자 간의 질량을 다루었으며, 이후에는 중성미자나 쿼크 등 다른 입자까지 확장되었다.^[1]^:64–66

공식[편집]

고이데 공식의 형태는 다음과 같다.

Q={\frac {\;m_{e}+m_{\mu }+m_{\tau }\;}{\left(\,{\sqrt {m_{e}\,}}+{\sqrt {m_{\mu }\,}}+{\sqrt {m_{\tau }\,}}\,\right)^{2}}}=0.666661(7)\approx {\frac {\,2\,}{3}}~,

여기서 전자, 뮤 입자, 타우 입자의 질량은 각각 $m$ _e = 0.510998946(3) MeV/c², $m$ _μ = 105.6583745(24) MeV/c², $m$ _τ = 1776.86(12) MeV/c²이며, 괄호 속의 숫자는 측정 불확실성이다.^[2] 이 값을 대입하면 $Q$ = 0.666661(7)이 된다.^[3]

여기서 전자, 뮤 입자, 타우 입자의 자리에 어떤 질량을 집어넣어도 1/3 ≤ $Q$ < 1 이 되는데, 상한값은 분모가 제곱근 형태이기 때문에 수학적으로 성립하며, 하한값은 코시-슈바르츠 부등식을 따른다. 실험적으로 측정한 값인 2/3은 범위 정중앙에 위치한다.

여기서 제기되는 의문은 값 자체에 있는데, 전혀 관련이 없어 보이는 세 숫자를 합치면 간단한 분수가 나오고, 거기에 전자, 뮤 입자, 타우 입자를 사용하면 $Q$ 의 값이 양 극단 (세 질량이 같을 경우 1/3, 하나의 질량이 매우 클 경우 1) 사이에 정확히 위치한다는 것이다.

로버트 풋은 고이데 공식을 ${\frac {1}{\,3\,Q\,}}$ 의 값이 $\left[\,{\sqrt {m_{e}\,}},{\sqrt {m_{\mu }\,}},{\sqrt {m_{\tau }\,}}\,\right]$ 벡터와 $[1,1,1]$ 벡터 사이의 코사인 제곱 사이의 각도(스칼라곱)를 나타내는 것으로 보았는데,^[4] 이 경우 각도는 정확히 45도가 된다( $\theta =(45.000\pm 0.001)^{\circ }~.$ ).^[4]

만약 공식에서 $Q$ 의 값이 정확히 2/3라고 한다면, 전자와 뮤 입자의 질량에서 타우 입자의 질량을 예측하는 데 사용할 수 있으며, 이 경우 타우 입자의 질량 $m$ _τ = 1776.969 MeV/c²이 된다.^[5]

고이데 공식은 앞선입자 모형을 기반으로 만들어졌으나, 이를 유도하는 방법 또한 발견되었다. 하지만, 고이데 공식의 원리는 아직 밝혀지지 않은 상태이다. 쿼크의 질량에서도 비슷한 관계가 발견되었으며,^[6]^[7]^[8] 이를 적용하면 꼭대기 쿼크의 질량을 173.263947(6) GeV로 유도할 수 있다.^[9]

추측적 확장[편집]

칼 브란넨은 경입자의 질량이 다음 관계에 따라 순환 행렬의 고윳값의 제곱으로 주어진다고 주장하였다.^[5]

{\sqrt {\,m_{n}\;}}=\mu \left[\,1+2\eta \cos \left(\delta +{\frac {\,2\pi \,}{3}}\cdot n\right)\,\right]

(단

n

= 0, 1, 2, ...)

여기에 $η$ ² = 0.500003(23), 위상값 $δ$ = 0.2222220(19)(2/9와 유사)를 대입하면 실험 결과와 일치하나, η² = 1/2과 $δ$ = 2/9라는 값 자체가 실험 결과와 일치하지 않는 문제가 있다.^[5]

쿼크에서도 비슷한 관계가 제안되었는데, 여기서 위상값은 2/27 = 2/9 × 1/3과 4/27 = 2/9 × 2/3으로, 입자 간 전하량의 차이를 내포하고 있다(쿼크에서 1/3과 2/3, 경입자에서 3/3 = 1, 1/3 × 2/3 × 3/3 ≈ $δ$ ).^[10]

쿼크의 질량[편집]

고이데 공식과 유사한 형태로 쿼크의 질량 사이의 관계를 설명하는 공식이 있는데, 특히 쿼크의 질량은 에너지 크기를 사용하기 때문에, 분석이 더욱 어렵다.^[11]

쿼크 중 가장 무거운 맵시(1.275 ± 0.03 GeV), 바닥(4.180 ± 0.04 GeV), 꼭대기(173.0 ± 0.40 GeV)는, 측정치의 불확실성을 고려하지 않을 경우, 다음 식으로 정립할 수 있다.^[12]

Q_{\text{heavy}}={\frac {m_{c}+m_{b}+m_{t}}{{\big (}{\sqrt {m_{c}}}+{\sqrt {m_{b}}}+{\sqrt {m_{t}}}{\big )}^{2}}}\approx 0.669\approx {\frac {2}{3}}.

2011년 발표한 논문 중에서 이 관계를 찾은 경우가 있었지만,^[13] 출판 시 식이 빠졌기 때문에,^[6] 최초로 이 식이 출판된 것은 2012년이었다.^[12]

비슷하게 가벼운 쿼크, 위(2.2 ± 0.4 MeV), 아래(4.7 ± 0.3 MeV), 기묘(95.0 ± 4.0 MeV)도 불확실성을 고려하지 않을 경우, 다음 식으로 나타난다.^[12]

Q_{\text{light}}={\frac {m_{u}+m_{d}+m_{s}}{{\big (}{\sqrt {m_{u}}}+{\sqrt {m_{d}}}+{\sqrt {m_{s}}}{\big )}^{2}}}\approx 0.56\approx {\frac {5}{9}},

1978년 위, 아래, 기묘 쿼크의 질량을 계산한 연구에서는, 위 쿼크의 질량을 0으로 가정한 것을 제외하고, 우연히 고이데 공식과 유사한 형태로 결과를 산출하였는데,^[14] 현대에 사용하는 형식으로 변환한 값은 다음과 같다.

Q_{\text{light}}={\frac {0+m_{d}+m_{s}}{{\big (}{\sqrt {0}}+{\sqrt {m_{d}}}+{\sqrt {m_{s}}}{\big )}^{2}}}\approx 0.70

입자 질량의 증가[편집]

양자장론에 따르면, 결합 상수나 질량은 에너지 규모에 따라 증가하기 때문에,^[15]^:151–152 각 변수의 값은 재규격화에 따라 관측한 에너지 규모에 따라 변화한다.^[16] 에너지가 높아 대칭이 파괴되지 않았을 경우에 각 값 사이의 관계는 간단하지만, 에너지가 낮아질수록 재규격화가 복잡해져 관계 또한 복잡해진다. 고이데 공식은 에너지가 낮은 경우인 극 질량에서 정확히 성립하기 때문에, 과학자 다수는 이 관계를 수비학의 일종으로 본다.^[17]

일본의 물리학자 스미노 유키나리는 유효 이론을 통해, 새로 발생한 게이지 대칭이 고이데 공식을 정확히 충족하게 된다는 새 기작을 주장했다.^[18]

같이 보기[편집]

각주[편집]

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↑ Since the uncertainties in $m$ $e$ and $m$ $μ$ are much smaller than that in $m$ $τ$ , the uncertainty in $Q$ was calculated as $\Delta Q={\frac {\,\partial \,Q\,}{\,\partial \,m_{\tau }\,}}\,\Delta m_{\tau }~.~$
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참고 자료

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외부 링크[편집]

위키미디어 공용에 고이데 공식 관련 미디어 분류가 있습니다.
Wolfram Alpha (타우 입자의 질량에 대한 해)

[1] Zenczykowski, P., Elementary Particles And Emergent Phase Space (Singapore: World Scientific, 2014), pp. 64–66.

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[3] Since the uncertainties in $m$ $e$ and $m$ $μ$ are much smaller than that in $m$ $τ$ , the uncertainty in $Q$ was calculated as $\Delta Q={\frac {\,\partial \,Q\,}{\,\partial \,m_{\tau }\,}}\,\Delta m_{\tau }~.~$

[:0-4] 가 ^나 Foot, R. (1994년 2월 7일). “A note on Koide's lepton mass relation”. arXiv:hep-ph/9402242.

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