매시 곱

대수적 위상수학에서 매시 곱(영어: Massey product)은 코호몰로지 곱을 일반화하는 다항 연산이다. 이를 통하여, 코호몰로지의 환 구조만으로는 알 수 없는 위상수학적 불변량을 계산할 수 있다.

정의

미분 등급 대수 $(A,d)$의 코호몰로지 $H^{\bullet }(A)$의 원소 $u\in H^{\bullet }(A)$에 대하여,

${\bar {u}}=(-)^{\deg u+1}u$

로 정의하자. 코호몰로지 $H^{\bullet }(A)$ 위의 $n$항 매시 곱

$\langle \overbrace {-,-,\dots ,-} ^{n}\rangle \colon (H^{\bullet }(A))^{n}\to {\mathcal {P}}(H^{\bullet }(A))$

은 $n$개의 코호몰로지류를 코호몰로지류들의 집합으로 대응시키는 함수이며, 다음과 같다.

$\langle [a_{1,1}],\dots ,[a_{n,n}]\rangle =\left\{\sum _{i=1}^{n-1}a_{1,i}a_{i+1,n}\colon \qquad \forall 1\leq i\leq k\leq n,\;(i,j)\neq (1,n)\colon da_{i,k}=\sum _{j=i}^{k-1}{\bar {a}}_{i,j}a_{j+1,k}\right\}$

이 등식에서

$\deg a_{i,k}=i-k+\sum _{j=i}^{k}\deg a_{j,j}$

이며, 따라서

$\deg \langle u_{1},\dots ,u_{n}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\deg u_{n}+2-n$

이다.

불확정성

일반적으로, 매시 곱은 공집합이거나 두 개 이상의 원소를 가질 수 있는 집합이다. 3차 매시 곱의 두 원소의 차는 다음과 같은 아이디얼에 속한다.

$x,y\in \langle [a_{1}],[a_{2}],[a_{3}]\rangle$

$x-y\in ([a_{1}])+([a_{3}])$

즉, 매시 곱을 다음과 같은 몫군 속의 값으로 정의한다면, 매시 곱은 유일하다.

$x,y\in \langle [a_{1}],[a_{2}],[a_{3}]\rangle$

$x-y\in H^{\deg a_{1}+\deg a_{2}+\deg a_{3}}/\left([a_{1}]H^{\deg a_{2}+\deg a_{3}}+H^{\deg a_{1}+\deg a_{2}}[a_{3}]\right)$

보다 일반적으로, $n$차 매시 곱은 다음과 같은 몫군 속에서 정의된다.

$x,y\in \langle [a_{1}],[a_{2}],\dots ,[a_{n}]\rangle$

$x-y\in H^{\sum _{i}\deg a_{i}}/\left([a_{1}]H^{\deg a_{2,n}}+H^{\deg a_{1,2}}H^{\deg a_{3,n}}+\cdots +H^{\deg a_{1,n-2}}H^{\deg a_{n-1,n}}+H^{\deg a_{1,n-1}}[a_{n}]\right)$

여기서

$\deg a_{i,j}=i-j+\deg a_{i}+\deg a_{i+1}+\cdots +\deg a_{j}$

이다.

낮은 차수의 매시 곱

0항 및 1항 매시 곱은 항상 $\{0\}$이다. 2항 매시 곱은 코호몰로지 곱

$\langle u,v\rangle =\{uv\}$

이다.

3항 매시 곱은 최초로 자명하지 않은 매시 곱이며, 다음과 같다. 만약

$uv=vw=0$

$ds={\bar {u}}v$

$dt={\bar {v}}w$

라면,

$\langle [u],[v],[w]\rangle =[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]$

이다.

4항 매시 곱은 다음과 같다.

$[uv]=[vw]=[wx]=0$

$dr={\bar {u}}v$

$ds={\bar {v}}w$

$dt={\bar {w}}x$

$[{\bar {r}}w+{\bar {u}}s]=[{\bar {s}}x+{\bar {v}}t]=0$

$dp={\bar {u}}s+{\bar {r}}w$

$dq={\bar {v}}t+{\bar {s}}x$

$\langle [u],[v],[w],[x]\rangle =[{\bar {u}}q+{\bar {r}}t+{\bar {p}}x]$

응용

매시 곱을 사용하여, 보로메오 고리가 얽혀 있다는 것을 알 수 있다.

매시 곱은 코호몰로지의 곱 연산만으로 알 수 없는 위상수학적 불변량들을 측정한다. 예를 들어, 연환의 일종인 보로메오 고리(영어: Borromean rings)는 그 여공간의 코호몰로지의 곱만으로는 세 개의 고리가 분리될 수 없다는 것을 알지 못하지만, 각 고리에 대응하는 코호몰로지 원소의 3중 매시 곱이 0이 아니므로 세 개의 고리가 얽혀 있다는 사실을 알 수 있다.

역사

윌리엄 슈마허 매시(영어: William Schumacher Massey)가 1958년에 도입하였다.

각주

• McCleary, John (2001). 《A user’s guide to spectral sequences》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 58 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511626289. ISBN 978-0-52156141-9. MR 1793722. Zbl 0959.55001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• O’Neill, Edward J. (1978). “On Massey products”. 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 76 (1): 123–127. MR 0482763. Zbl 0397.55009. 
• Vallette, Bruno (2012). “Algebra + homotopy = operad” (영어). arXiv:1202.3245. 

외부 링크

• “Massey product”. 《nLab》 (영어). 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 11월 12일에 확인함.