분기화

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대수적 수론에서 분기화(分岐化, 영어: ramification)는 어떤 체의 확대에서, 원래 체의 대수적 정수환에서의 소 아이디얼이 확대체의 정수환에서 제곱 인자를 갖는 것을 뜻한다.

분기화는 두 가지의 방법으로 다룰 수 있다.

• 분기화를 아이디얼의 소인수 분해로서 다룰 수 있다. 이는 데데킨트 정역에 대하여 적용할 수 있으나, 오직 유한 자리만을 다룰 수 있다.
• 분기화를 체 위의 절댓값으로서 다룰 수 있다. 절댓값 이론은 아이디얼 이론보다 더 일반적이며, 무한 자리 또한 일관적으로 다룰 수 있다.

데데킨트 정역의 분기화

데데킨트 정역 $D$의 분수체 $K=\operatorname {Frac} D$의 유한 확대 ${\tilde {K}}/K$가 주어졌으며, $D$의 ${\tilde {K}}$ 속에서의 정수적 폐포가 ${\tilde {D}}$라고 하자. 그렇다면 ${\tilde {D}}$ 역시 데데킨트 정역이다.^{:45, Proposition I.8.1}

${\begin{matrix}D&\hookrightarrow &{\tilde {D}}\\{\scriptstyle \operatorname {Frac} }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \operatorname {Frac} \\K&\hookrightarrow &{\tilde {K}}\\\end{matrix}}$

$D$ 속의 0이 아닌 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{(0)\}$에 대하여, 포함 준동형 $\iota \colon D\hookrightarrow {\tilde {D}}$에 대한 상의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.

$\iota ({\tilde {p}})=\prod _{i=1}^{g({\mathfrak {p}})}{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}^{e_{{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}}}\qquad ({\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\},\;e_{i}>0\forall i)$

그렇다면 $e_{\tilde {\mathfrak {p}}}$를 ${\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}$의 분기 지표(分岐指標, 영어: ramification index)라고 한다.

또한, 잉여류체에 대한 자연스러운 체의 확대가 존재한다.

$D/{\mathfrak {p}}\subseteq {\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}$

이 확대의 차수 $f_{\tilde {\mathfrak {p}}}$를 ${\tilde {\mathfrak {p}}}$의 관성 차수(慣性次數, 영어: inertia degree)라고 한다.

$f_{\tilde {\mathfrak {p}}}=[{\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}:D/{\mathfrak {p}}]$

그렇다면 다음과 같은 기본 항등식(영어: fundamental identity)이 성립한다.

$[L:K]=\sum _{{\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}}^{{\tilde {\mathfrak {p}}}\mid {\mathfrak {p}}}e_{\tilde {\mathfrak {p}}}f_{\tilde {\mathfrak {p}}}\qquad \forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}$

힐베르트 이론

만약 확대 ${\tilde {K}}/K$가 갈루아 확대라면, 이에 대한 힐베르트 이론(Hilbert理論, 영어: Hilbert theory)이라는 자세한 묘사가 존재한다. 이 경우, 갈루아 군 $\operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)$는 $\{{\mathfrak {p}}_{i}\}_{i=1,\dots ,g({\mathfrak {p}})}$ 위에 추이적으로 작용하며, 따라서 모든 $i$에 대하여 $e_{i}$ 및 $f_{i}$가 일치한다. 즉,

$[L:K]=e({\mathfrak {p}})f({\mathfrak {p}})g({\mathfrak {p}})\qquad \forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}$

이다.

분해군

임의의 ${\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}$의 분해군(分解群, 영어: decomposition group) $G_{\tilde {\mathfrak {p}}}$는 $\operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)$의 작용에 대한 ${\tilde {\mathfrak {p}}}$의 안정자군이다.^{:54, Definition I.9.2} ${\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}$의 분해체(分解體, 영어: decomposition field) $Z_{\tilde {\mathfrak {p}}}$는 분해군에 의해 고정되는 ${\tilde {K}}$의 원소들로 구성되는 체이다.

$Z_{\tilde {\mathfrak {p}}}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon \sigma {\tilde {a}}={\tilde {a}}\forall \sigma \in G_{\tilde {\mathfrak {p}}}\}$

궤도-안정자군 정리에 따라서, 모든 $i=1,\dots ,g({\mathfrak {p}})$에 대하여 안정자군의 크기는 같다.

$|G_{{\tilde {\mathfrak {p}}}_{i}}|=|G|/g({\mathfrak {p}})=e({\mathfrak {p}})f({\mathfrak {p}})\forall i=1,\dots ,g({\mathfrak {p}})$

관성군

${\tilde {\mathfrak {p}}}\in \operatorname {Spec} {\tilde {D}}\setminus \{0\}$가 주어졌고, ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}$는 ${\tilde {\mathfrak {p}}}\mid \iota ({\mathfrak {p}})$인 유일한 소 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 자연스러운 전사 군 준동형

$\operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)\twoheadrightarrow \operatorname {Gal} \left(({\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}})/(D/{\mathfrak {p}})\right)$

이 존재한다. 그 핵을 ${\tilde {\mathfrak {p}}}$의 관성군(慣性群, 영어: inertia group) $I_{\tilde {\mathfrak {p}}}$이라고 하며, 이는 분해군의 부분군이다.^{:57, Definition I.9.5} 관성군의 크기는 항상 $e({\mathfrak {p}})$와 같으며, 갈루아 군 $\operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)$의 작용에 불변이다.

$I_{\tilde {\mathfrak {p}}}=I_{\sigma \cdot {\tilde {\mathfrak {p}}}}=e({\mathfrak {p}})\forall \sigma \in \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)$

마찬가지로, ${\tilde {\mathfrak {p}}}$의 관성체(慣性體, 영어: inertia field) $T_{\tilde {\mathfrak {p}}}$는 관성군의 작용에 불변인 부분체이다.

$T_{\tilde {\mathfrak {p}}}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon \sigma ({\tilde {a}})={\tilde {a}}\forall \sigma \in I_{\tilde {\mathfrak {p}}}\}$

즉, 다음과 같은 체들의 탑이 존재한다.

$K\subseteq Z_{\tilde {\mathfrak {p}}}\subseteq T_{\tilde {\mathfrak {p}}}\subseteq {\tilde {K}}$

또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to I_{\tilde {\mathfrak {p}}}\to G_{\tilde {\mathfrak {p}}}\to \operatorname {Gal} ({\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}})/(D/{\mathfrak {p}})\to 1$

$T_{\tilde {\mathfrak {p}}}/Z_{\tilde {\mathfrak {p}}}$는 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 $\operatorname {Gal} ({\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {p}}})/(D/{\mathfrak {p}})$와 같다.

수체의 분기화

데데킨트 정역 $D$의 분수체 $K=\operatorname {Frac} D$가 대수적 수체일 경우를 생각하자. ($D={\mathcal {O}}_{K}$인 경우가 대표적이지만, 대수적 정수환이 아닐 수 있다.) 이 경우, 상대 판별식(영어: relative discriminant) $\Delta _{{\tilde {K}}/K}$는 ${\tilde {D}}$의 특별한 아이디얼이다.

그렇다면, 임의의 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} D\setminus \{0\}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathfrak {p}}$는 분기화된다.
• ${\mathfrak {p}}\mid \Delta _{{\tilde {K}}/K}$이다.

특히, 이 경우 분기화하는 소 아이디얼들의 수는 유한하다.

헨젤 값매김환의 분기화

분기화는 국소적인 현상이며, 헨젤 값매김환의 분기화 이론은 국소적인 분기화 정보를 담는다. 즉, 주어진 자리에 대하여 헨젤화를 가하면, 이 자리에서의 분기화에 대한 이론을 전개할 수 있으며, 이렇게 얻는 분기화의 국소적 이론은 분기화의 대역적 이론보다 매우 간단하다.

헨젤 값매김환 $(D,\nu ,{\mathfrak {m}})$의 분수체 $K=\operatorname {Frac} D$의 유한 확대 ${\tilde {K}}/K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $K$의 값매김 $\nu$는 ${\tilde {K}}$ 위에 다음과 같이 값매김 ${\tilde {\nu }}$를 유도한다.^:149

${\tilde {\nu }}\colon {\tilde {a}}\mapsto {\frac {1}{[{\tilde {K}}:K]}}\nu (\operatorname {N} _{{\tilde {K}}/K}({\tilde {a}})$

여기서 $\operatorname {N} _{{\tilde {K}}/K}$는 체 노름이다. 이에 대한 값매김환을 ${\tilde {D}}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon {\tilde {\nu }}({\tilde {a}})\geq 0\}$라고 하고, 그 극대 아이디얼을 ${\tilde {m}}$이라고 하자.

이에 따라, 다음과 같은 값군의 포함 관계가 존재한다.

$\nu (K^{\times })\subseteq {\tilde {\nu }}({\tilde {K}}^{\times })$

그렇다면, ${\tilde {K}}/K$의 분기 지표 $e({\tilde {K}}/K)$는 두 값군 사이의 몫군의 크기이다.

$e({\tilde {K}}/K)=|{\tilde {\nu }}({\tilde {K}}^{\times })/\nu (K^{\times })|$

마찬가지로, 잉여류체들의 다음과 같은 확대가 존재한다.

$D/{\mathfrak {m}}\subseteq {\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}$

그렇다면, ${\tilde {K}}/K$의 관성 차수 $f({\tilde {K}}/K)$는 두 잉여류체 사이의 확대의 차수이다.

$f({\tilde {K}}/K)=[{\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}:D/{\mathfrak {m}}]$

이 경우, 일반적으로 다음이 성립한다.^{:150, Proposition II.6.8}

$[{\tilde {K}}:K]\geq e({\tilde {K}}/K)f({\tilde {K}}/K)$

또한, 만약 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다면, 위 부등식은 등식이 되며, 이를 기본 항등식(영어: fundamental identity)이라고 한다.

• $\nu$는 이산 값매김이며, ${\tilde {K}}/K$는 분해 가능 확대이다.^{:150, Proposition II.6.8}
• $\nu$는 이산 값매김이며, $K$는 $\nu$에 대하여 완비 공간이다.^:151

값매김환의 분기화

데데킨트 정역의 분기화 이론은 값매김환의 분기화 이론으로 일반화된다. 이 경우, 데데킨트 정역 속의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$ 대신, ${\mathfrak {p}}$로 정의되는 ${\mathfrak {p}}$진 값매김에 대한 분기화를 다루게 된다.

절댓값 $|-|_{\nu }$이 주어진 체 $K$의 확대 ${\tilde {K}}/K$가 주어졌다고 하자. 이 경우 $\nu$를 ${\tilde {K}}$ 전체로 다양한 방법으로 확장할 수 있으며, 각 확장은 ${\tilde {K}}$ 위의 절댓값을 정의한다. 이는 절댓값의 동치에 대하여 불변이며, 따라서 자리를 정의한다. ${\tilde {\nu }}$가 $\nu$의 확장이라는 것은 (소 아이디얼의 인수 분해에 비유하여) ${\tilde {\nu }}\mid \nu$로 쓴다.

만약 $\nu$가 비아르키메데스 자리인 경우, 분기 지표와 상대 차수를 정의할 수 있다. 구체적으로, 비아르키메데스 자리에 대한 $K$와 ${\tilde {K}}$의 값매김환이 $(D,{\mathfrak {m}})$ 및 $({\tilde {D}},{\mathfrak {m}})$라고 하자. 그렇다면, 분기 지표는 다음과 같은 부분군의 지표이다.^:165

$e_{\tilde {\nu }}=[{\tilde {\nu }}({\tilde {K}}^{\times }):\nu (K^{\times })]$

${\tilde {\nu }}$의 상대 차수(영어: relative degree)는 다음과 같은, 잉여류체의 확대의 차수이다.

$f_{\tilde {\nu }}=[D_{\tilde {\nu }}/{\mathfrak {m}}_{\tilde {\nu }}:D/{\mathfrak {m}}]$

만약 $\nu$가 이산 값매김을 정의하며, ${\tilde {K}}/K$가 분해 가능 확대라면, 다음과 같은 기본 항등식(영어: fundamental identity)이 성립한다.^{:165, Proposition II.8.5}

$\sum _{{\tilde {\nu }}\mid \nu }e_{\tilde {\nu }}f_{\tilde {\nu }}=[L:K]$

값매김 힐베르트 이론

${\tilde {K}}/K$가 갈루아 확대라고 하자. 그렇다면 다음과 같이 힐베르트 이론을 값매김으로서 서술할 수 있다.

(아르키메데스 또는 비아르키메데스) 자리 $\nu$의 확장 ${\tilde {\nu }}$이 주어졌을 때, ${\tilde {\nu }}$의 분해군 $G_{\tilde {\nu }}$은 갈루아 군 $\operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)$의 작용에 대한 안정자군이다.^{:167, Definition II.9.2}

$G_{\tilde {\nu }}=\{\sigma \in \operatorname {Gal} ({\tilde {K}}/K)\colon {\tilde {\nu }}\circ \sigma ={\tilde {\nu }}\}$

이는 $|-|_{\tilde {\nu }}$에 대하여 연속 함수가 되는 자기 동형들로 구성된다.^:171 이에 대한 고정점들로 구성된 부분체를 분해체 $Z_{\tilde {\nu }}$라고 한다.

$Z_{\tilde {\nu }}=\{{\tilde {a}}\in {\tilde {K}}\colon \sigma ({\tilde {a}})={\tilde {a}}\forall \sigma \in G_{\tilde {\nu }}\}$

만약 ${\tilde {\nu }}$가 비아르키메데스 자리인 경우, 관성군과 분기군을 추가로 정의할 수 있다. 값매김환 $(D,{\mathfrak {m}})$ 및 $({\tilde {D}},{\tilde {\mathfrak {m}}})$을 정의한다면, 체의 확대

$D/{\mathfrak {m}}\subseteq {\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}$

는 갈루아 확대임을 보일 수 있다.^{:172, Proposition II.9.9} 또한, 분해군은 이 확대의 갈루아 군으로 가는 자연스러운 전사 군 준동형을 가지며, 그 핵을 비아르키메데스 자리 ${\tilde {\nu }}$의 관성군 $I_{\tilde {\nu }}$이라고 한다.

$1\to I_{\tilde {\nu }}\to G_{\tilde {\nu }}\to \operatorname {Gal} \left({\frac {{\tilde {D}}/{\tilde {\mathfrak {m}}}}{D/{\mathfrak {m}}}}\right)\to 1$

이에 대한 고정점으로 구성되는 부분체를 관성체 $T_{\tilde {\nu }}$라고 한다.

외부 링크

• “Ramification theory of valued fields”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Ramified prime ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Unramified character”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Ramification of ideals”. 《nLab》 (영어). 
• “Ramification index”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Ramification of archimedean places”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Examples of ramification of archimedean places”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Splitting and ramification in number fields and Galois extensions”. 《PlanetMath》 (영어).