분할 거듭제곱 환

가환대수학에서 분할 거듭제곱 환(分割-環, 영어: divided power ring, 프랑스어: anneau à puissances divisées)은 표수의 배수인 $n$의 경우에도, 적어도 어떤 아이디얼의 원소 $x$의 경우에는 “$x^{n}/n!$”과 유사한 연산이 가능하게 하는 구조가 주어진 가환환이다. 표수 0의 체 위의 가환 결합 대수의 경우에는 분할 거듭제곱 구조는 유일하지만, 양의 표수에서는 일반적으로 그렇지 않다.

정의

분할 거듭제곱 환 $(R,{\mathfrak {I}},\gamma )$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 가환환 $R$
• $R$의 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq R$
• 각 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 함수 $\gamma _{n}\colon {\mathfrak {I}}\to R$. 이를 $(R,{\mathfrak {I}})$ 위의 분할 거듭제곱 구조(分割-構造, 영어: divided power structure, 프랑스어: structure à puissances divisées)라고 한다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

$\gamma _{0}(x)=1\qquad \forall x\in {\mathfrak {I}}$

$\gamma _{1}(x)=x\qquad \forall x\in {\mathfrak {I}}$

$\gamma _{n}(x)\in {\mathfrak {I}}\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in {\mathfrak {I}}$

$\gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{n-i}(x)\gamma _{n}(y)\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;x,y\in {\mathfrak {I}}$

$\gamma _{n}(rx)=r^{n}\gamma _{n}(x)\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;r\in R,\;x\in {\mathfrak {I}}$

$\gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)={\binom {m+n}{m}}\gamma _{m+n}(x)\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}$

$\gamma _{n}(\gamma _{m}(x))={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}\gamma _{mn}(x)\qquad \forall m\in \mathbb {Z} ^{+},\;n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}$

간혹 $\gamma _{n}(x)$ 대신 $x^{[n]}$와 같은 표기도 사용된다.

분할 거듭제곱 환 준동형

두 분할 거듭제곱 환 $(R,{\mathfrak {I}},\gamma )$, $(S,{\mathfrak {J}},\delta )$ 사이의 준동형 $f\colon R\to S$은 다음 두 조건을 만족시키는 환 준동형이다.

$f({\mathfrak {I}})S\subseteq {\mathfrak {J}}$

$f(\gamma _{n}(x))=\delta _{n}(f(x))\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}$

이에 따라, 분할 거듭제곱 환과 그 준동형들로 구성된 구체적 범주가 존재한다.

분할 거듭제곱 스킴

분할 거듭제곱 환의 개념을 스킴으로 일반화시킬 수 있다.

분할 거듭제곱 스킴(分割-scheme, 영어: divided power scheme)은 다음 데이터로 주어진다.

• 스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$
• ${\mathcal {O}}_{X}$ 위의 아이디얼 층 ${\mathcal {I}}$
• $X$의 각 (자리스키) 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, 분할 거듭제곱 구조 $\gamma _{n}\colon {\mathcal {I}}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(U)$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 두 (자리스키) 열린집합 $V\subseteq U\subseteq X$ 및 $n>0$에 대하여, 다음 그림이 가환한다. (즉, 준층의 사상을 이룬다.)

  ${\begin{matrix}{\mathcal {I}}(U)&{\overset {\gamma _{n}}{\to }}&{\mathcal {I}}(U)\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}}\downarrow \scriptstyle \color {White}{\operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \color {White}\operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}}\downarrow \scriptstyle \operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\{\mathcal {I}}(V)&{\underset {\gamma _{n}}{\to }}&{\mathcal {I}}(V)\end{matrix}}$

분할 거듭제곱 스킴 사이의 사상 역시 분할 거듭제곱 환 사이의 준동형과 유사하게 정의된다.

성질

임의의 분할 거듭제곱 환 $(R,{\mathfrak {I}},\gamma )$에서, 다음이 성립한다.

$r^{n}=n!\gamma _{n}(r)\qquad (\forall n\in \mathbb {N} ,\;r\in {\mathfrak {I}})$

물론, 만약 $R$에서 $n!=0$이라면, 좌변과 우변 둘 다 0이다.

증명:

분할 거듭제곱 구조의 공리에 따라,

$r\gamma _{n}(r)=\gamma _{1}(r)\gamma _{n}(r)={\binom {n+1}{1}}\gamma _{n+1}(r)=(n+1)\gamma _{n+1}(r)$

이다. 이를 반복하면

$r^{n}=1\cdot r^{n-1}\gamma _{1}(r)=1\cdot 2\cdot r^{n-2}\gamma _{2}(r)=\dotsb =n!\gamma _{n}(r)$

을 얻는다.

분할 거듭제곱 포락

다음이 주어졌다고 하자.

• 분할 거듭제곱 환 $(A,{\mathfrak {I}},\gamma )$
• 가환환 $B$
• 환 준동형 $f\colon A\to B$
• $B$의 아이디얼 ${\mathfrak {J}}\subseteq B$. 또한, $f({\mathfrak {I}})B\subseteq {\mathfrak {J}}$라고 하자.

그렇다면, 다음 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 $({\bar {B}},{\bar {\mathfrak {J}}},\delta )$가 항상 존재함을 보일 수 있다.

임의의 분할 거듭제곱 환 $(C,{\mathfrak {K}},\varepsilon )$에 대하여,

$\hom _{\operatorname {PDRing} /(A,{\mathfrak {I}},\gamma )}\left(({\bar {B}},{\bar {\mathfrak {J}}},\delta ),(C,{\mathfrak {K}},\varepsilon )\right)=\hom _{\operatorname {CRingIdeal} /(A,{\mathfrak {I}})}\left((B,{\mathfrak {J}}),(C,{\mathfrak {K}})\right)$

여기서

• $\operatorname {PDRing}$은 분할 거듭제곱 환의 범주이다.
• $\operatorname {CRingIdeal}$은 가환환의 아이디얼들의 범주이다. 즉,
  • $\operatorname {CRingIdeal}$의 대상 $(R,{\mathcal {I}})$은 가환환 $R$와 그 속의 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq R$의 순서쌍이다.
  • $\operatorname {CRingIdeal}$의 사상 $f\colon (R,{\mathcal {I}})\to (S,{\mathfrak {J}})$은 $f({\mathfrak {I}})S\subseteq {\mathfrak {J}}$인 환 준동형 $f\colon R\to S$이다.
• $/$은 조각 범주를 뜻한다.

이 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 $({\bar {B}},{\bar {\mathfrak {J}}},\delta )$을 $(B,{\mathfrak {J}})$ 위의 분할 거듭제곱 포락(分割-包絡, 영어: divided power envelope)이라고 한다. 즉, 이는 아이디얼에 분할 거듭제곱 구조를 “가장 자연스럽게” 부여한 것이다.

분할 거듭제곱 미분

고전적인 켈러 미분의 이론은 양의 표수에서 잘 작동하지 않는다. 분할 거듭제곱 환의 이론을 사용하면, 양의 표수에서도 공사슬 복합체를 이루는 분할 거듭제곱 드람 복합체를 정의할 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• 분할 거듭제곱 환 $(R,{\mathfrak {I}},\gamma )$
• 환 준동형 $f\colon K\to R$

켈러 미분의 가군과 유사하게, 분할 거듭제곱 미분 가군(分割-微分加群, 영어: module of divided-power differentials) $\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{1}$를 다음과 같은 항등식들을 만족시키는 $\mathrm {d} b$들로 생성되는 $K$-가군으로 정의할 수 있다.

$\mathrm {d} (r+s)=\mathrm {d} b+\mathrm {d} s\qquad (r,s\in R)$

$\mathrm {d} (rs)=(\mathrm {d} r)s+r(\mathrm {d} s)\qquad (r,s\in R)$

$\mathrm {d} f(\lambda )=0\qquad \forall \lambda \in K$

$\mathrm {d} (\gamma _{n}(r))=\gamma _{n-1}\mathrm {d} r\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;r\in R$

이것이 보통 켈러 미분하고 다른 점은 넷째 조건 밖에 없다.

이제, 켈러 미분과 마찬가지로

$\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{n}=\bigwedge _{R}^{n}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\delta }^{1}$

$\mathrm {d} \colon \left(r_{0}(\mathrm {d} r_{1}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} r_{n})\right)\mapsto \mathrm {d} r_{0}\wedge \mathrm {d} r_{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} r_{n}\qquad (r_{0},r_{1},\dotsc ,r_{n}\in R)$

를 정의하면, 이것이 다음과 같은 공사슬 복합체를 이룸을 보일 수 있다.

$\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{0}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega _{R/K,J,\delta }^{1}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{2}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{3}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\dotsb$

이를 분할 거듭제곱 드람 복합체(分割-de Rham複合體, 영어: divided-power de Rham complex)라고 한다.

이 드람 복합체의 존재는 궁극적으로 구조층 ${\mathcal {O}}_{R/S}$가 결정 위치 위의 결정이기 때문이다.

예

표수 0의 대수

표수 0의 체 $K$ 위의 가환 결합 대수 $A$의 임의의 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq A$ 위에는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 존재하며, 다음과 같다.

$\gamma _{n}(x)={\frac {1}{n!}}\cdot x^{n}$

증명:

$A$에서는 $n!$이 가역원이다. 이에 따라 $x^{n}=n!\gamma _{n}(x)$이므로 $\gamma _{n}(x)=x^{n}/n!$이다.

물론, 이 경우 ${\mathfrak {I}}=A$로 놓을 수 있다.

자유 분할 거듭제곱 구조

가환환

$\mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} \left[x,{\frac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\frac {x^{n}}{n!}},\dotsc \right]\subset \mathbb {Q} [x]$

의 주 아이디얼 $(x)$ 위에는 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조가 존재한다.

$\gamma _{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}\qquad \forall n\in \mathbb {N}$

이 분할 거듭제곱 대수는 하나의 생성원에 대한 자유 $\mathbb {Z}$-분할 거듭제곱 대수이다. 여기서 “자유”라는 것은, 범주 이론의 의미로 붙인 것이다.

분할 거듭제곱 다항식환

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $R$
• 유한 집합 $I$

그렇다면, 분할 거듭제곱 단항식(分割-單項式, 영어: divided power monomial)은 다음과 같은 꼴의 형식적 단항식이다.

$r\prod _{i\in I}x_{i}^{[n_{i}]}\qquad ((n_{i})_{i\in I}\in \mathbb {N} ^{I},\;r\in R)$

이와 같은 분할 거듭제곱 단항식들의 (유한 개의) 합들로 구성된 가환 $R$-결합 대수 $R\langle (x_{i})_{i\in I}\rangle$를 분할 거듭제곱 다항식환(分割-多項式環, 영어: divided power polynomial ring)이라고 한다.

이 속에서, 양의 차수(즉, $\textstyle \sum _{i}n_{i}>0$인 것)인 분할 거듭제곱 단항식들로 구성된 아이디얼을 생각할 수 있다. 이 위에는

$\lambda _{n}(x_{i}^{[m]})={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}x_{i}^{[mn]}\qquad (m,n\in \mathbb {N} ,\;i\in I)$

와 같은 표준적인 분할 거듭제곱 구조가 주어진다.

양의 표수

양의 표수의 체 위의 가환 결합 대수의 경우, $x^{n}=n!\gamma _{n}(x)$는 성립하더라도, $n!$로 나눌 수 없는 경우가 생길 수 있으므로, 분할 거듭제곱 구조는 유일하지 않을 수 있다.

예를 들어, 만약

• 소수 $p$의 표수를 갖는 가환환 $A$
• ${\mathfrak {I}}^{p}=0$인 멱영 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq A$

에 대하여, 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조를 정의할 수 있다.

$\gamma _{n}(x)={\begin{cases}x^{n}/n!&n<p\\0&n\geq p\end{cases}}$

일반적으로 양의 표수의 환에서 주의할 점 하나는, 아이디얼 ${\mathfrak {I}}^{p}$과, 모든 $x\in {\mathfrak {I}}$에 대해 $x^{p}$로 생성된 아이디얼 사이에는 차이가 있다는 점이다. 전자는 0이 아닐 수 있지만, 후자의 경우는 분할 거듭제곱 구조가 존재한다면 항상 0이 된다는 것을 증명할 수 있다.

응용

분할 거듭제곱 구조는 분할 거듭제곱 미분 연산자의 이론이나 결정 코호몰로지 이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 표수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들이 극복될 수 있다.

구체적으로, 양의 표수 $p$의 경우, 에탈 코호몰로지는 $\ell \neq p$인 경우에서만 유용하다. 직관적으로, 표수 $p$의 가환환 $A$ 위의 다항식환 $A[x]$에서, 미분의 곱 규칙

$(x^{n})'=nx^{n-1}$

을 생각하자. 만약 $p\mid n$일 경우

$(x^{n})'=0$

이 된다. 이 때문에 쿠머 열(영어: Kummer sequence)이 $\ell =p$에서는 에탈 위상 위에서 완전열이 되지 못하게 된다.

이를 해결하기 위해서는 앞에 붙는 $n$을 처리해야만 한다. 이러한 미분을 위해서, 다음과 같은 특수한 곱을 정의하자.

$x^{[m]}y^{[n]}={\frac {(m+n)!}{m!n!}}x^{m}y^{n}$

그렇다면, 여기에 미분 구조를 주었다고 하면

$(x^{[n]})'=x^{[n-1]}$

가 되며, 골칫거리인 $n$이 사라지게 된다.

즉, 가환환 $A$에 대하여, 다음과 같은 정의를 생각할 수 있다.

$A\langle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle =\left\{\sum _{i_{1},\cdots ,i_{n}}a_{i_{1},\cdots ,i_{n}}x_{1}^{[i_{1}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}|a_{i_{1},\cdots ,i_{n}}\in A\right\}$

이와 같은 구성을 조금 더 일반화하면, 분할 거듭제곱 환 및 분할 거듭제곱 스킴의 개념에 도달하게 된다.

보통, 대수기하학에서는 멱영 아이디얼 위의 분할 거듭제곱 구조만을 고려하는데, 이는 분할 거듭제곱 구조를 주어야 하는 곳은 한정되어야 하기 때문이다. 예를 들면, $A\langle x\rangle$같은 경우는 $x$로 생성되는 주 아이디얼에만 “작업을 가하면” 된다. 우리가 어려움을 겪는 이유는 $x$가 들어간 것의 미분 때문이기 때문이다. 아이디얼을 더 크게 잡으면, 망가지지 말아야 할 $A$의 연산도 망가지게 된다.

참고 문헌

• Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978). 《Notes on Crystalline Cohomology》. Annals of Mathematics Studies (영어). Princeton University Press. Zbl 0383.14010. 
• Hazewinkel, Michiel (1978). 《Formal Groups and Applications》. Pure and applied mathematics (영어) 78. Elsevier. ISBN 0123351502. Zbl 0454.14020. 
• Berthelot, Pierre (1974). 《Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 407. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0068636. ISBN 978-3-540-06852-5. MR 0384804. 

외부 링크

• Ward, Matt (2011년 6월 22일). “Divided power structures 1”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2014년 10월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 6월 26일). “Divided power structures 2”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2014년 10월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 7월 4일). “Divided powers 3”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2014년 10월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 7월 7일). “Divided powers 4”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2014년 10월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 6일에 확인함.