선형대수학에서, 선형 변환의 불변 부분 공간(不變部分空間, invariant subspace)은 그 선형 변환에 대하여 닫혀있는 부분 벡터 공간이다.
체 에 대한 벡터 공간 위의 선형 변환 가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 -불변 부분 공간이라고 한다.
- 임의의 에 대하여,
보다 일반적으로, 위의 선형 변환의 족 가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 -불변 부분 공간이라고 한다.
- 임의의 및 에 대하여,
- 임의의 에 대하여, 는 -불변 부분 공간이다.
선형 변환 가 를 만족시킨다면, 와 는 -불변 부분 공간이다.
특히, 는 다음과 같은 불변 부분 공간을 갖는다.
선형 변환 를 -불변 부분 공간 에 제한시키면 다음과 같은 선형 변환 를 얻을 수 있다.
또한, 몫 벡터 공간 위에 다음과 같은 선형 변환 를 유도할 수 있다.
의 특성 다항식은 의 특성 다항식을 나누며, 의 최소 다항식은 의 최소 다항식을 나눈다.
행렬 표현[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 유한 차원 벡터 공간
- 선형 변환
- -불변 부분 공간
- 의 기저
- 의 기저
그렇다면, 의 행렬
사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 유한 차원 벡터 공간
- 선형 변환
- -불변 부분 공간 . 또한,
- 의 기저
그렇다면, 의 위에서 정한 기저에 대한 행렬 사이에 다음 관계가 성립한다.
외부 링크[편집]