사용자:Mjkim1790/연습장

• 
  설명1
• 
  설명2

</gallery> 자기투과율이 $\mu$인 물질로 이루어진 속이 빈 원기둥이, 자기장이 $B_{0}$로 균일한 공간에, 수직으로 놓여 있는 상황을 가정해보자.

우선, 자유전류가 없어, $\triangledown \times H=0$ 이되고, $H=-\triangledown \Phi$가 되는 스칼라 함수 $\Phi$를 정의 할 수 있으며, 라플라스 방정식을 만족한다.

$\triangledown ^{2}\Phi =0$
원통좌표계에서 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.
$\Phi =\sum _{m=1}^{\infty }(c_{m}r^{m}+{\frac {d_{m}}{r^{m}}})(g_{m}\cos {m\theta }+h_{m}\sin {m\theta }$
이때, z축(자기장 방향)에대한 대칭성과 원점에서의 수렴성 때문에, 일반해는 다음과 같이 다시쓸 수 있다.
$\Phi _{1}=\sum _{m=1}^{\infty }(c_{1m}r^{m})\cos {m\theta }(r<a)$
$\Phi _{2}=\sum _{m=1}^{\infty }(c_{2m}r^{m}+{\frac {d_{2m}}{r^{m}}})\cos {m\theta }(a<r<b)$
$\Phi _{3}=\sum _{m=1}^{\infty }(c_{3m}r^{m}+{\frac {d_{3m}}{r^{m}}})\cos {m\theta }(r>b)$
경계조건은 거리가 멀어졌을 때 원통의 존재를 무시할 수 있으므로
구문 분석 실패 (구문 오류): {\displaystyle r\rightarrow \infty,\: \Phi\rightarrow -\frac{B_0}{\mu_0}\cos \theta}

자기장의 발산이 0인 것으로부터
 

$(B_{2}-B_{1})\cdot {\hat {r}}=0(r=a)$
$(B_{3}-B_{2})\cdot {\hat {r}}=0(r=b)$

스칼라 함수가 연속인 것으로 부터

$\Phi _{1}=\Phi _{2}(r=a)$
$\Phi _{2}=\Phi _{3}(r=b)$

이렇게 5가지 경계조건이 나온다.
 

이제, 경계조건으로부터 각각의 계수들을 구하여, 해를 구할 수 있다.
결과를 이용해, 내부(r<a)에서의 자기장을 구해보면
${\overrightarrow {B_{in}}}={\frac {4\mu \mu _{0}\,a^{2}}{a^{2}(\mu +\mu _{0})^{2}-b^{2}(\mu -\mu _{0})^{2}}}{\overrightarrow {B_{0}}}$
그러므로, ${\frac {\mu }{\mu _{0}}}\rightarrow$ 1이면 차폐가 거의 일어나지 않고, ${\frac {\mu }{\mu _{0}}}\rightarrow 0,\infty$ 이면 차폐가 완벽하게 일어난다