상반방정식

대수학에서, 임의의 $n$차 다항식 $p$ 와 그것의 상반다항식 $p*$은 다음과 같다.

$p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},\,\!$

$p^{*}(x)=a_{n}+a_{n-1}x+\cdots +a_{0}x^{n}=x^{n}p(x^{-1}).$

상반방정식은 임의의 다항식과 그 다항식의 상반다항식이 같은 자기상반다항식(self-reciprocal polynomial)이다.

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x+a_{0}=0$일때,

$a_{i}=a_{n-i}$이다.

따라서, 상반방정식(Reciprocal polynomial,symmetrical equation)이란 다항 방정식의 계수의 모양이 대칭적으로 나열되어 있는 것을 말하게 된다.

최고차항의 차수가 기수(홀수)인지, 우수(짝수)인지에 따라 풀이방식을 달리한다.

해법

짝수차 상반방정식(우수차 상반방정식)

짝수차 상반방정식은, 최고차수가 짝수인 상반방정식을 말한다.

예) :$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$

양변을 중앙항으로 나눈다. 그러면

$ax^{2}+bx+c+{\frac {b}{x}}+{\frac {a}{x^{2}}}=0$

이런 형태로 된다.

$a(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})+b(x+{\frac {1}{x}})+c=0$

둘씩 묶어서 $x+{\frac {1}{x}}$의 형태로 정리하면

$a((x+{\frac {1}{x}})^{2}-2)+b(x+{\frac {1}{x}})+c=0$

가 된다. 이 때 $X=x+{\frac {1}{x}}$으로 치환해주면

$aX^{2}+bX+(c-2a)=0$

이다. 이 $X$를 이차방정식의 근의 공식에 대입하면

$X={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4a(c-2a)\ }}}{2a}}$

이 되는데, 이것은 $X$에 대한 풀이이므로 $X=x+{\frac {1}{x}}$에 대입하면 $x$의 해를 알 수 있다.

홀수차 상반방정식(기수차 상반방정식)

홀수차 상반방정식은, 최고차항이 홀수인 상반방정식을 말한다.

예) :$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$

이 식은 먼저 하나의 해는 $-1$임을 가정한다.

$-1$이 나올 수 있는 인수는 $(x+1)$이므로 조립제법이나 다항식의 나눗셈을 통해 남는 인수를 알아낸다.

조립제법을 이용하면 방정식은 차수가 내려가게 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다.

$ax^{4}+(-a+b)x^{3}+(a-b+c)x^{2}+(-a+b)x+a=0$

준상반방정식

준상반방정식은, 상반방정식이 아닌 것처럼 보이지만 실제적으로는 상반방정식의 해법을 응용하여 풀 수 있는 방정식으로, 이 방정식의 형태는

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bmx+am^{2}=0$

과 같이 중앙항의 바로 다음 항부터는 같은 수인 m을 곱하여 나타낸 것이다. 이 경우에는 상반방정식에서는 $x+{\frac {1}{x}}$을 치환하던 것을 바꾸어 $x+{\frac {m}{x}}$을 치환해서 풀면 된다.

상반다항식 급수 곱

급수 곱의 표현

$\left(\sum _{n=0}^{n}{x^{n}}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{n-1}{x^{n}}\right)=$ 홀수차 상반방정식

$\left(\sum _{n=0}^{n}{x^{n}}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{n}{x^{n}}\right)=$ 짝수차 상반방정식

상반다항식 급수곱의 예

$\left(\sum _{n=0}^{3}{x^{n}}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{3-1}{x^{n}}\right)$

2개의 수렴하는 수열의 곱 $(x^{3},x^{2},x^{1},x^{0})\cdot (x^{2},x^{1},x^{0})$에서

$(x^{3}+x^{2}+x^{1}+x^{0})\cdot (x^{2}+x^{1}+x^{0})$

$=x^{3}(x^{2}+x^{1}+x^{0})+x^{2}(x^{2}+x^{1}+x^{0})+x^{1}(x^{2}+x^{1}+x^{0})+x^{0}(x^{2}+x^{1}+x^{0})$

$=x^{3}(x^{2}+x^{1}+1)+x^{2}(x^{2}+x^{1}+1)+x^{1}(x^{2}+x^{1}+1)+1(x^{2}+x^{1}+1)$

$=(x^{5}+x^{4}+x^{3})+(x^{4}+x^{3}+x^{2})+(x^{3}+x^{2}+x^{1})+(x^{2}+x^{1}+1)$

$=x^{5}+2x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+2x^{1}+1\qquad \qquad$ (5차 방정식중 상반방정식)

같이 보기

• 5차 방정식
• 다항방정식

각주

• 김주영,1993 방정식에 관한 수학사적 고찰
• 연세대 교육대학원 석사학위 논문,pp32–37,채순향,1998
• 방정식의 풀이 방벙에 관한 연구, 전남대 교육대학원 석사학위 논문,pp4–5