수축량

이 원환면 위에서, 수축 불가능 폐곡선 가운데 길이가 최소인 것은 붉게 표시된 폐곡선이며, 그 길이는 이 원환면이 수축량이다.

기하학에서, 수축량(收縮量, 영어: systole 시스톨^[*])은 어떤 거리 공간에서, 상수 함수와 호모토픽하지 않는 폐곡선의 최소 길이이다.

정의

콤팩트 거리 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 속의 폐곡선

$\gamma \colon \mathbb {S} ^{1}=[0,1]/(0\sim 1)\to X$

의 길이

$\operatorname {length} \gamma =\sup _{n\in \mathbb {Z} ^{+}}\sup _{t_{0},t_{1},t_{2},\dotsc ,t_{n}\in [0,1]}\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}))\in [0,\infty ]$

를 생각하자.

$X$의 수축량은 다음과 같다.

$\operatorname {sys} X=\inf\{\operatorname {length} \gamma \colon \gamma \in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {S} ^{1},X),\;1_{\pi _{1}(X,\gamma (0))}\neq [\gamma ]\in \pi _{1}(X,\gamma (0))\}$

여기서 $\pi _{1}(X,\gamma (0))$은 점을 가진 공간 $(X,\gamma (0))$의 기본군이다. 즉, 기본군에서 자명하지 않은 동치류를 갖는 폐곡선의 길이의 하한이다.

$n$차원 연결 콤팩트 리만 다양체 $M$의 수축량비(收縮量比, 영어: systolic ratio)는 다음과 같은 값이다.

$\operatorname {SR} (M)={\frac {(\operatorname {sys} M)^{n}}{\operatorname {vol} M}}\in [0,\infty ]$

(만약 $M$이 단일 연결 공간이라면, 수축량비는 무한대이다.)

성질

임의의 리만 다양체 구조가 주어진 2차원 원환면 $\mathbb {T} ^{2}$을 생각하자. 그 위에는 다음과 같은 뢰브너 부등식(영어: Loewner inequality)이 성립한다.

$\operatorname {SR} \mathbb {T} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}$

여기서 $\operatorname {vol} (\mathbb {T} ^{2})$는 원환면의 넓이이다.

마찬가지로, 실수 사영 평면 $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$ 위에는 다음과 같은 푸 부등식([蒲]不等式, 영어: Pu’s inequality)이 성립한다.

$\operatorname {SR} \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}$

각종 곡면에 대하여, 수축량비의 상한은 다음과 같다.

곡면	수축량비의 상한	수축량비의 상한을 포화하는 리만 계량
구 $\mathbb {S} ^{2}$	∞	(기본군이 자명군)
원환면 $\mathbb {T} ^{2}$	$2/{\sqrt {3}}$	정삼각형 격자의 몫 $\mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\exp(\pi \mathrm {i} /3)\mathbb {Z} )$으로 주어지는, 곡률 0의 원환면
실수 사영 평면 $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$	$\pi /2$	대칭 구의 대척점에 대한 몫 $\{x\in \mathbb {R} ^{3}\colon \|x\|=1\}/(x\sim -x)$
클라인 병 $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\#\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$	$\pi /{\sqrt {8}}$

보다 일반적으로, 종수 $g$의 콤팩트 가향 곡면 $\Sigma _{g}$에 대하여, $g\geq 1$일 경우 다음이 성립한다.

$\operatorname {SR} (\Sigma _{g})\leq 2$

사실, 충분히 큰 $g$에 대하여, 다음이 항상 성립하게 되는, 종수에 의존하지 않는 두 상수 $C_{+},C_{-}$가 존재한다.

$C_{-}{\frac {(\ln g)^{2}}{g}}\leq \operatorname {SR} (\Sigma _{g})\leq C_{+}{\frac {(\ln g)^{2}}{g}}$

그로모프 부등식

연결 콤팩트 리만 다양체 $M$에서, 다음이 성립한다면, $M$을 본질적 다양체(영어: essential manifold)라고 하자.

자연스러운 군 준동형 $\operatorname {H} _{\dim M}(M;R)\to \operatorname {H} _{\dim M}(\operatorname {K} (\pi _{1}(M),1);R)$ 아래, 기본류 $[M]\in \operatorname {H} _{\dim M}(M)$의 상이 자명하지 않다. 여기서 $R$는 $M$이 가향 다양체일 때 $R=\mathbb {Z}$이며, 아닐 때 $R=\mathbb {F} _{2}$이다. $\operatorname {K} (-,-)$는 에일렌베르크-매클레인 공간이다.

그로모프 부등식(영어: Gromov’s inequality)에 따르면, 각 차원 $n$에 대하여, 모든 $n$차원 본질적 다양체들의 수축량비들의 집합은 (차원에만 의존하는) 상한 $C_{n}$을 갖는다.

$\operatorname {SR} M\leq C_{n}$

역사

수축량의 개념은 카를 뢰브너(독일어: Karl Löwner, 체코어: Karel Löwner 카렐 뢰브네르^[*], 영어: Charles Loewner 찰스 로브너^[*], 1893~1968)가 도입하였다. “수축량”(프랑스어: systole 시스톨^[*])이라는 용어는 마르셀 베르제가 1980년에 도입하였다. 이는 원래 생물학에서 심장의 수축을 뜻하는 용어이며, 고대 그리스어: συστολή 시스톨레^[*](수축)에서 유래하였다.