스틴로드 대수

대수적 위상수학에서 스틴로드 대수(Steenrod代數, 영어: Steenrod algebra)는 유한체 계수의 안정 코호몰로지 연산들로 구성되는 호프 대수이다.

정의

소수 $p$에 대하여, 스틴로드 대수는 안정 코호몰로지 연산으로 구성된, $\mathbb {F} _{p}$ 위의 등급 호프 대수이다.

홀수 표수

홀수 소수 $p$에 대하여, $\mathbb {F} _{p}$ 위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.

$\operatorname {P} ^{i}\colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{p})\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb {F} _{p})$

$\beta \colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{p})\to \operatorname {H} ^{H+1}(X;\mathbb {F} _{p})$

$\operatorname {P} ^{i}$는 $i$차 스틴로드 축소 거듭제곱(영어: Steenrod reduced power)이라고 한다. $\beta$는 아벨 군 짧은 완전열 $0\to \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p^{2}\to \mathbb {Z} _{p}\to 0$에 대응하는 복시테인 준동형이다.

이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.

• $\operatorname {P} ^{i}$는 자연 변환 $\operatorname {H} ^{n}(-;\mathbb {F} _{p})\to \operatorname {H} ^{n+2i(p-1)}(-;\mathbb {F} _{p})$을 정의한다.
• $\operatorname {P} ^{0}$은 항상 항등 함수이다.
• $\operatorname {P} ^{i}|_{\operatorname {H} ^{2i}(-;\mathbb {F} _{p})}\colon \alpha \mapsto \alpha ^{\smile p}$이다.
• 만약 $2i>n$이라면 $\operatorname {P} ^{i}|_{\operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{p})}=0$이다.
• (카르탕 공식 영어: Cartan formula) $\operatorname {P} ^{n}(\alpha \smile \beta )=\sum _{i+j=n}\operatorname {P} ^{i}\alpha \smile \operatorname {P} ^{j}\beta$이다.

짝수 표수

$\mathbb {F} _{2}$ 위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.

$\operatorname {Sq} ^{i}\colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{2})\to H^{n+i}(X;\mathbb {F} _{2})$

이를 $i$차 스틴로드 제곱(영어: Steenrod square)이라고 한다. (짝수 표수의 경우, $\operatorname {P} ^{i}=\operatorname {Sq} ^{2i}$이며 $\beta =\operatorname {Sq} ^{1}$이다.)

이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.

• $\operatorname {Sq} ^{i}$는 자연 변환 $\operatorname {H} ^{n}(-;\mathbb {F} _{p})\to \operatorname {H} ^{n+2i(p-1)}(-;\mathbb {F} _{p})$을 정의한다.
• $\operatorname {Sq} ^{0}$은 항상 항등 함수이다.
• $\operatorname {Sq} ^{i}|_{\operatorname {H} ^{i}(-;\mathbb {F} _{p})}\colon \alpha \mapsto \alpha ^{\smile 2}$이다.
• 만약 $i>n$이라면 $\operatorname {Sq} ^{i}|_{\operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{p})}=0$이다.
• (카르탕 공식 영어: Cartan formula) $\operatorname {Sq} ^{n}(\alpha \smile \beta )=\sum _{i+j=n}\operatorname {Sq} ^{i}\alpha \smile \operatorname {Sq} ^{j}\beta$이다.

구성

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 크기 $n$의 집합 위에 자유롭게 작용하는 유한군 $G$
• 위상 공간 $X$

그렇다면, $n$제곱 함수

$\operatorname {H} ^{i}(X)\to \operatorname {H} ^{ni}(X)$

$\alpha \mapsto \alpha ^{\smile n}$

를 생각하자. (만약 코호몰로지가 소수 크기 유한체 $\mathbb {F} _{p}$ 계수이며 $n=p$라면 이는 프로베니우스 사상이며, $\mathbb {F} _{p}$-선형 변환을 이룬다. 그러나 일반적으로 이는 선형이 아니다.) 이는 다음과 같이 분해될 수 있다.

${\begin{matrix}\operatorname {H} ^{i}(X)&\to &\operatorname {H} ^{ni}(\operatorname {E} G\times _{G}X^{n})&\to &\operatorname {H} ^{ni}(X^{n})\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\operatorname {H} ^{ni}(\operatorname {B} G\times X)&\to &\operatorname {H} ^{ni}(X)\end{matrix}}$

여기서 각 사상은 다음과 같다.

• $\operatorname {diag} _{X}^{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(X^{n})\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X^{n})$는 코호몰로지에 의한 $\operatorname {diag} _{X}\colon X\to X^{n}$의 당김이다.
• $\operatorname {H} ^{i}(X)\to \operatorname {H} ^{ni}(\operatorname {E} G\times _{G}X^{n})=\operatorname {H} _{G}^{ni}(X^{n})$: $\alpha \in \operatorname {H} ^{i}(X)$에 대하여, $\alpha ^{\times p}\in \operatorname {H} ^{ni}(X^{n})$을 정의하자. 이는 $G$의 $X^{n}$ 위의 작용에 대하여 불변이므로, 등변 코호몰로지 $\operatorname {H} _{G}^{ni}(X^{n})$에 속한다.
• $(\operatorname {id} _{\operatorname {B} G},\operatorname {diag} _{X})^{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {E} G\times _{G}X^{n})\to \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {B} G\times X)$는 코호몰로지에 의한 $(\operatorname {id} _{\operatorname {B} G},\operatorname {diag} _{X})\colon \operatorname {B} G\times X\to \operatorname {B} G\times X^{n}$의 당김이다. $\operatorname {diag} _{X}(X)\subseteq X^{n}$는 $G$의 작용의 고정점으로 구성되므로, $\operatorname {E} G\times _{G}\operatorname {diag} _{X}(X^{n})=\operatorname {B} G\times X$이다.
• $\operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {E} G\times _{G}X^{n})\to \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {E} G\times X^{n})\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(X^{n})$: 몫공간 사상 $q\colon \operatorname {E} G\times X^{n}\twoheadrightarrow \operatorname {E} G\times _{G}X^{n}$의 코호몰로지에 의한 당김이다.
• $\operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {B} G\times X)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X)$는 생성원 $\alpha \in \operatorname {H} _{0}(\operatorname {B} G)$와의 경사곱이다.

이제, $n=p$가 소수이며 $G=\operatorname {Cyc} (p)$가 순환군이라고 하자. 그렇다면

$\operatorname {B} \operatorname {Cyc} (p)=\mathbb {S} ^{\infty }/\operatorname {Cyc} (p)$

이다.

특히, $p=2$인 경우 분류 공간은 무한 실수 사영 공간

$\operatorname {B} \operatorname {Cyc} (2)=\mathbb {S} ^{\infty }/\operatorname {Cyc} (2)=\mathbb {RP} ^{\infty }$

이며, 그 $\mathbb {F} _{2}$ 계수 코호몰로지는

$\operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[w_{1}],\;\deg w_{1}=1$

이다. (여기서 $w_{1}$은 자명한 실수 선다발의 슈티펠-휘트니 특성류이다.) 체 계수의 퀴네트 정리에 따라서

$\operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {B} G\times X;\mathbb {F} _{p})=\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{p})[w_{1}]\quad (\deg w_{1}=1)$

이다. 따라서, 합성

$\operatorname {Sq} \colon \operatorname {H} ^{i}(X;\mathbb {F} _{2})\to \operatorname {H} ^{2i}(\mathbb {RP} ^{\infty }\times X;\mathbb {F} _{2})$

을

$\operatorname {Sq} =\sum _{k=0}^{i}\operatorname {Sq} ^{k}w_{1}^{i-k}$

로 전개한다면 스틴로드 제곱

$\operatorname {Sq} ^{k}\colon \operatorname {H} ^{i}(X;\mathbb {F} _{p})\to \operatorname {H} ^{i+k}(X;\mathbb {F} _{p})$

을 얻는다.

마찬가지로, $p$가 홀수 소수일 경우를 생각하면 스틴로드 축소 거듭제곱을 얻는다.

성질

아뎀 관계

스틴로드 대수는 아뎀 관계(영어: Ádem relation)라는 관계들을 만족시킨다.

이들은 다음과 같다. $p=2$일 경우, 다음과 같은 생성 함수를 정의하자.

$\operatorname {Sq} (t)=\sum _{i=0}^{\infty }t^{i}\operatorname {Sq} ^{i}$

그렇다면, 아뎀 관계는 다음과 같다.

$\operatorname {Sq} (s^{2}+st)\operatorname {Sq} (t^{2})=\cdots [s\leftrightarrow t]$

여기서 우변은 좌변과 같지만, $s$와 $t$를 서로 바꾼 것이다.

$p>2$일 경우, 다음과 같은 생성 함수를 정의하자.

$\operatorname {P} (t)=\sum _{i=0}^{\infty }t^{i}\operatorname {P} ^{i}$

그렇다면, 아뎀 관계는 다음과 같다.

$(1+s\operatorname {Ad} \beta )\operatorname {P} (t^{p}+t^{p-1}s+\cdots +ts^{p-1})\operatorname {P} (s^{p})=\cdots [s\leftrightarrow t]$

여기서 $(\operatorname {Ad} \beta )\operatorname {P} =\beta \operatorname {P} -\operatorname {P} \beta$이며, 우변은 좌변과 같지만, $s$와 $t$를 서로 바꾼 것이다.

애덤스 스펙트럼 열

유한 차원 CW 복합체 $X$, $Y$가 주어졌을 때, $\mathbb {F} _{p}$ 계수의 코호몰로지 군은 스틴로드 대수 $A_{p}$ 위의 가군을 이룬다. 이 경우, 애덤스 스펙트럼 열(영어: Adams spectral sequence)은 다음과 같은 스펙트럼 열이다.

$E_{2}^{p,q}=\operatorname {Ext} _{A_{p}}^{p,q}\left(\operatorname {H} ^{\bullet }(Y;\mathbb {F} _{p}),\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{p})\right)$

이는 호모토피 군 $[X,Y]$의 $p$차 꼬임 부분군으로 수렴한다.

특히, $X$와 $Y$가 초구일 때, 애덤스 스펙트럼 열은 초구의 호모토피 군을 계산한다.

역사

$p=2$의 경우는 노먼 스틴로드가 1947년에 도입하였고, $p>2$인 경우는 노먼 스틴로드가 1953년에 도입하였다.

아뎀 관계는 멕시코의 수학자 호세 아뎀 차인(스페인어: José Ádem Chaín, 1921~1991)이 1952년에 도입하였다. 애덤스 스펙트럼 열은 1958년에 존 프랭크 애덤스가 도입하였다.

각주

• Smith, Larry (2007). 〈An algebraic introduction to the Steenrod algebra〉. John Hubbuck, Nguyễn H. V. Hưng, Lionel Schwartz. 《Proceedings of the School and Conference in Algebraic Topology (The Vietnam National University, Hanoi, 9–20 August 2004)》. Geometry and Topology Monographs (영어) 11. Mathematical Sciences Publishers. 327–348쪽. arXiv:0903.4997. Bibcode:2009arXiv0903.4997S. doi:10.2140/gtm.2007.11.327. ISSN 1464-8989.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)

외부 링크

• “Steenrod algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Steenrod operation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Steenrod square”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Steenrod reduced power”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Steenrod algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Steenrod square”. 《nLab》 (영어). 
• “Adams spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2011년 11월 16일). “The Steenrod algebra and its dual”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2011년 11월 16일). “The structure of the dual Steenrod algebra”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2011년 11월 16일). “The Steenrod operations via homological algebra”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• “Understanding Steenrod squares” (영어). Math Overflow. 
• “Why does one consider the dual of the Steenrod algebra?” (영어). Math Overflow.