아르프 불변량

2009년에 발행된, 10 튀르키예 리라 지폐에는 자히트 아르프의 초상화와 아르프 불변량의 정의가 등장한다.

이차 형식 이론에서, 아르프 불변량(Arf不變量, 영어: Arf invariant)는 표수 2의 체 위의 이차 형식을 분류하는 불변량이다.

정의

$\mathbb {F} _{2}$의 경우의 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 차원 $\mathbb {F} _{2}$-벡터 공간 $V$
• $V$ 위의 비퇴화 이차 형식 $Q\colon V\to K$

그렇다면, 항상

$|\{v\in V\colon Q(v)=0\}|\neq |\{v\in V\colon Q(v)=1\}|$

임을 보일 수 있다.

$Q$의 아르프 불변량은 다음과 같다.

$\operatorname {Arf} (Q)={\begin{cases}0&|\{v\in V\colon Q(v)=0\}|>|\{v\in V\colon Q(v)=1\}|\\1&|\{v\in V\colon Q(v)=0\}|<|\{v\in V\colon Q(v)=1\}|\\\end{cases}}\in \mathbb {F} _{2}$

일반적 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 표수 2의 체 $K$
• 유한 차원 $K$-벡터 공간 $V$
• $V$ 위의 이차 형식 $Q\colon V\to K$

그렇다면, $Q$를 다음과 같은 꼴로 나타내는 $V$의 기저 $(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})$가 존재함을 보일 수 있다.

$Q=\sum _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }a_{i}x_{2i}^{+}x_{2i}x_{2i+1}+b_{i}x_{2i+1}^{2}$

$a_{1},\dots ,a_{\lfloor n/2\rfloor },b_{1},\dots ,b_{\lfloor n/2\rfloor }\in K$

특히, 만약 $V$가 비특이 이차 형식이라면 $n$은 항상 짝수이다.

그렇다면, 다음과 같은 값을 생각하자.

$\sum _{i=0}^{\lfloor n/2\rfloor }a_{i}b_{i}$

이 값은 선택한 기저 $(x_{1},\dotsc ,x_{n})$에 의존하지만, 다른 기저 $(x'_{1},\dotsc ,x'_{n})$를 선택하였을 경우

$\sum _{i=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(a_{i}b_{i}-a'_{i}b'_{i})\in \{a^{2}+a\colon a\in K\}$

가 된다. 또한, 이 집합은 $K$의 덧셈 부분군을 이룬다.

증명:

임의의 $a,b\in K$에 대하여,

$(a^{2}+a)+(b^{2}+b)=(a+b)^{2}+(a+b)-2ab=(a+b)^{2}+(a+b)$

이다.

이에 따라, 덧셈 아벨 군 $(K,+)/\{a^{2}+a\colon a\in K\}$ 속에서 취한 이 합은 $Q$의 불변량이다. 이를 $Q$의 아르프 불변량이라고 한다.

특히, 만약 $K=\mathbb {F} _{2}$일 경우 $\{a^{2}+a\colon a\in \mathbb {F} _{2}\}=\{0\}$이므로, 아르프 불변량은 $\mathbb {F} _{2}$의 원소가 된다.

성질

$K$가 표수 2의 완전체라고 하자. 그렇다면, $K$ 위의 유한 차원 비특이 이차 형식의 동형류들은 항상 그 차원과 아르프 불변량에 대하여 완전히 결정된다. (그러나 이는 완전체가 아닌 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)

역사

자히트 아르프가 1941년에 도입하였다.

응용

아르프 불변량은 매듭 이론 및 $4k+2$의 꼴의 차원의 매끄러운 다양체의 분류에 등장한다.

외부 링크

• “Arf-invariant”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Arf invariant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Arf invariant”. 《nLab》 (영어). 
• Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2011년 6월 17일). “Cahit Arf and his invariant” (PDF) (영어).