아이디얼 몫

가환대수학에서 아이디얼 몫(영어: ideal quotient)은 같은 가환환 속의 두 아이디얼에 대하여 정의되는 이항 연산이다. 이는 아이디얼에 대한, 나눗셈의 일반화이다. 대수기하학에서, 이는 두 부분 대수다양체의 ‘차집합’에 해당한다. (대수기하학에서 아이디얼의 곱셈은 대략 부분 대수다양체의 ‘합집합’에 해당하며, 이는 그 역연산에 ‘가장 가까운’ 연산이다.)

정의

가환환 $R$의 아이디얼 ${\mathfrak {i}},{\mathfrak {j}}\subseteq R$가 주어졌다고 하자. 그 몫 아이디얼은 다음과 같은 부분 집합이다.

$({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})=\{r\in R\colon r{\mathfrak {j}}\subseteq {\mathfrak {i}}\}$

이는 $R$의 아이디얼을 이룬다.

증명:

다음 조건들을 모두 증명하면 족하다.

• $({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})$가 덧셈에 대하여 가환 모노이드를 이룸:
  • 만약 $r,s\in ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})$라면, $(r+s){\mathfrak {j}}\subseteq r{\mathfrak {j}}+s{\mathfrak {j}}\subseteq {\mathfrak {i}}+{\mathfrak {i}}={\mathfrak {i}}$
• $({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})$가 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룸:
  • 만약 $r\in ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})$라면, $(-r){\mathfrak {j}}=r(-{\mathfrak {j}})=r{\mathfrak {j}}\subseteq {\mathfrak {i}}$
• $({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})$가 $R$의 가군을 이룸:
  • 만약 $r\in ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})$이며 $s\in R$라면, $(sr){\mathfrak {j}}=r(s{\mathfrak {j}})\subseteq r{\mathfrak {j}}\subseteq {\mathfrak {i}}$

성질

다음이 성립한다.

$({\mathfrak {i}}:R)={\mathfrak {i}}$

$(R:{\mathfrak {j}})=R$

$(0:{\mathfrak {j}})=\operatorname {Ann} _{R}({\mathfrak {j}})$ (아이디얼의 소멸자)

$({\mathfrak {i}}:0)=R$

보다 일반적으로, 만약 ${\mathfrak {j}}\subseteq {\mathfrak {i}}$라면, 다음이 성립한다.

$({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})=R$

기하학적으로, 이는 만약 $J\supseteq I$일 때 $I\setminus J=\varnothing$임에 해당한다.

아이디얼 몫은 다음과 같은 ‘분배 법칙’을 따른다.

$({\mathfrak {i}}:({\mathfrak {j}}+{\mathfrak {k}}))=({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {j}})\cap ({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {k}})$

대수기하학적으로, 아이디얼의 합은 대략 부분 대수다양체의 교집합에 해당하며, 아이디얼의 교집합은 대략 부분 대수다양체의 합집합에 해당한다. 따라서 이는 집합론적 항등식

$I\setminus (J\cap K)=(I\setminus J)\cup (I\setminus K)$

에 해당한다.

예

대수다양체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 다항식환 $K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$의 두 아이디얼 ${\mathfrak {i}},{\mathfrak {j}}\subseteq K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$이 주어졌다고 하자. 또한, ${\mathfrak {i}}={\sqrt {\mathfrak {i}}}$라고 하자 (즉, ${\mathfrak {i}}$는 스스로의 소근기와 일치한다). 그렇다면, 다음이 성립한다.

$Z({\mathfrak {i}}:{\mathfrak {J}})=\operatorname {cl} (Z({\mathfrak {i}})\setminus Z({\mathfrak {j}}))$

여기서

• $\operatorname {cl} (-)$은 자리스키 위상에서 부분 집합의 폐포이다.
• $Z({\mathfrak {j}})$는 $R$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$ 가운데 ${\mathfrak {p}}/{\mathfrak {j}}\in \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {j}})$인 것이다. 즉, 이는 ${\mathfrak {j}}$에 대응하는 부분 대수다양체의 점들이다.

예를 들어, $\mathbb {C} [x,y,z]$ (복소수 3차원 아핀 공간) 속의 아이디얼 $(xyz)$ ($x$평면· $y$평면 · $z$평면의 합집합)와 $(xy)$($x$평면과 $y$평면의 합집합)를 생각하자. 이 경우

$((xyz):(xy))=(z)$

이다.

정수

정수환 $\mathbb {Z}$은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 이 경우 아이디얼 몫은 다음과 같다.

$((m):(n))=\left({\frac {m}{\gcd\{m,n\}}}\right)$

여기서 $\gcd$는 최대공약수이다. 또한,

$\gcd\{m,0\}=m$

${\frac {0}{0}}=1$

로 간주한다. 즉, 풀어 쓴다면

$((m):(n))={\begin{cases}(m/\gcd\{m,n\})&m\neq 0\neq n\\(1)&n=0\\(0)&m=0\neq n\end{cases}}$

이다.

특히, 만약 $m$이 $n$의 배수일 경우

$((m):(n))=(m/n)$

이 된다. 반면, 만약 $m$과 $n$이 서로소인 경우

$((m):(n))=(m)$

이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ideal quotient”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Tsumura, Yu (2016년 11월 29일). “Ideal quotient (colon ideal) is an ideal”. 《Problems in Mathematics》 (영어).