알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형

이론물리학에서 알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형(Алехандров-Концевич-Шварц-Заборонский模形, 영어: AKSZ sigma model, 약자 AKSZ 시그마 모형)은 L∞-준대수의 데이터로 정의되는 위상 양자장론이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 매끄러운 다양체 $M$
• 매끄러운 다양체 $N$
• $N$ 위의 L∞-준대수 ${\mathfrak {g}}$. 즉, 이는 ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$가 되는 L∞-대수이다.
• ${\mathfrak {g}}$ 위의 2차 불변 다항식. 즉, 원소 $\omega \in \in \operatorname {Weil} _{2+\dim M}({\mathfrak {g}})$ 가운데, $\mathrm {d} _{\operatorname {Weil} ({\mathfrak {g}})}\omega =0$이며, $\omega _{ij}\delta t^{i}\delta t^{j}$의 꼴이어야 한다. 또한, $\omega _{ij}$는 ${\mathfrak {g}}$ 위의 비퇴화 이차 형식이어야 한다. (여기서 $\operatorname {Weil} (-)$는 L∞-대수의 베유 대수이다.)
• $\mathrm {d} _{\operatorname {Weil} ({\mathfrak {g}})}c=\omega$가 되는 원소 $c\in \operatorname {Weil} ({\mathfrak {g}})$. 이를 천-사이먼스 원소(영어: Chern–Simons element)라고 한다.

베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 표준적인 사영 사상

$\operatorname {Weil} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$

아래의 $c$의 상을 $\mu \in \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$라고 하자.

L_∞-준대수 사상

$\phi \colon \mathrm {T} M\to {\mathfrak {g}}$

는 $M$ 위의 일련의 미분 형식 장들을 정의한다. 그렇다면, 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다.

$S=k\int \phi ^{*}c=k\int \omega (\phi ,\mathrm {d} \phi )+\mu$

여기서 $k\in \mathbb {R}$는 임의의 상수이다. 이를 AKSZ 시그마 모형이라고 한다.

예

1차원

심플렉틱 다양체 $N$의 심플렉틱 형식 $\omega$가 완전 미분 형식이라고 하자.

$\omega =\mathrm {d} c$

$c\in \Omega ^{1}(N)$

즉, 여기서 $c$는 $\omega$의 천-사이먼스 형식이다.

$N$은 (0차원 벡터 다발에 해당하는) 자명한 리 준대수로 여겨질 수 있으며, 그 슈발레-에일렌베르크 대수는

$\operatorname {CE} (N)={\mathcal {C}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )$

이다.

리 준대수 사상

$\mathrm {T} M\to N$

은 단순히 매끄러운 함수 $\phi \colon M\to N$이며, 이에 대한 1차원 알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형의 작용은

$S=\int _{\mathbb {R} }\phi ^{*}c$

이다. 이에 대한 운동 방정식은

${\dot {\phi }}=0$

이다. 즉, 이는 움직이지 않는 입자를 나타낸다.

구체적으로, $N=\mathrm {T} ^{*}X$가 공변접다발이라고 하자. 그렇다면

$c=p_{i}\mathrm {d} x^{i}$

가 되며, 이 경우 작용은

$S=\int _{\mathbb {R} }p_{i}{\dot {x}}^{i}\,\mathrm {d} t$

가 된다. 이는 입자의 통상적인 작용

$S=\int _{\mathbb {R} }(p_{i}{\dot {x}}^{i}-g^{ij}p_{i}p_{j}/2m)\,\mathrm {d} t$

에서 무한대 질량 극한

$m\to \infty$

을 취한 것이다. 즉, 입자가 매우 무거워, 더 이상 움직이지 않게 된다.

2차원 (푸아송 시그마 모형)

푸아송 다양체 $(N,\pi )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\mathrm {T} ^{*}N\twoheadrightarrow N$은 표준적으로 리 준대수를 이룬다. 그렇다면, 리 준대수 사상

$\mathrm {T} ^{*}M\to E$

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 함수 $\phi \colon M\to N$. 그 미분은 $\mathrm {d} \phi \in \Omega ^{1}(M;\phi ^{*}(\mathrm {T} N))$이다. 이는 접다발 $\mathrm {T} N\twoheadrightarrow N$의 당김 올다발 $\phi ^{*}(\mathrm {T} N)\twoheadrightarrow M$에 값을 갖는 1차 미분 형식이다.
• 공변접다발 $E^{*}\twoheadrightarrow N$의 당김 올다발 $\phi ^{*}E^{*}\twoheadrightarrow M$에 값을 갖는 1차 미분 형식 $\eta \in \Omega ^{1}(M;\phi ^{*}E^{*})$

$M$의 지표를 $\mu ,\nu ,\dotsc$로, $N$의 지표를 $i,j,\dotsc$로 적을 때, 장들은

$\eta _{\mu }^{i}$

$\partial _{\mu }\phi ^{i}$

이며, 이에 대한 작용은

$S=\int _{M}\left(\eta _{i}\wedge \mathrm {d} \phi ^{i}+{\frac {1}{2}}\pi ^{ij}(\phi )\eta _{i}\wedge \eta _{j}\right)$

이다. 여기서 $\pi$는 푸아송 다양체의 푸아송 텐서이다.

천-사이먼스 이론

 이 부분의 본문은 천-사이먼스 이론입니다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 차원 실수 리 대수 ${\mathfrak {g}}$. 이는 한원소 공간 $N=\{\bullet \}$ 위의 리 준대수이다.
• ${\mathfrak {g}}$ 위의 불변 다항식 $\omega \in \operatorname {Weil} ^{4}({\mathfrak {g}})$

(예를 들어, 만약 ${\mathfrak {g}}$가 단순 리 대수라면, $\omega$는 킬링 형식의 실수배이다.)

그렇다면, $\omega$에 대응하는 천-사이먼스 원소

$\mathrm {d} _{\operatorname {Weil} ({\mathfrak {g}})}\alpha =\omega$

$\alpha \in \operatorname {Weil} ^{3}({\mathfrak {g}})$

를 정의할 수 있다. 이에 대한 작용은 천-사이먼스 형식이다.

리 준대수 사상

$\mathrm {T} M\to {\mathfrak {g}}$

의 개념은 리 대수 값 1차 미분 형식

$A\in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})$

의 개념과 동치이며, 이에 대한 AKSZ 시그마 모형은 ${\mathfrak {g}}$에 대한 천-사이먼스 이론이다.

보다 일반적으로, 이차 리 대수 대신 스칼라장을 포함할 수 있는 쿠런트 준대수를 사용할 수 있다. 이 경우 얻는 작용은 쿠런트 시그마 모형(영어: Courant sigma model)이라고 한다.

역사

알렉산드로프 · 막심 콘체비치 · 알베르트 시바르츠 · 자보론스키가 도입하였다.

참고 문헌

• Ikeda, Noriaki (2012). “Lectures on AKSZ topological field theories for physicists” (영어). arXiv:1204.3714. 
• Roytenberg, Dmitry (2007). “AKSZ-BV formalism and Courant algebroid-induced topological field theories”. 《Lett.Math.Phys.》 (영어) 79: 143–159. arXiv:hep-th/0608150. 
• Fiorenza, Domenico; Rogers, Chris; Schreiber, Urs (2013). “AKSZ Sigma-Models in Higher Chern-Weil Theory”. 《International Journal of Geometic Methods in Modern Physics》 (영어) 10: 1250078. arXiv:1108.4378. 

외부 링크

• “AKSZ sigma-model”. 《nLab》 (영어). 
• Schreiber, Urs. “∞-Chern-Simons theory — examples” (영어).