미분기하학에서 에르미트 다양체(Hermite多樣體, 영어: Hermitian manifold)는 일종의 계량 텐서를 가진 복소다양체이다. 복소 기하학에서 리만 다양체에 대응되는 개념이다.
켈러 다양체와 칼라비-야우 다양체는 에르미트 다양체의 특수한 경우다.
에르미트 계량[편집]
매끄러운 다양체
위의
차원 매끄러운 벡터 다발
위의 개복소구조(영어: almost complex structure), 즉
이 되는 매끄러운 단면
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각
에 대하여,
![{\displaystyle J_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \colon E_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to E_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4abd3357f7e10d8d8625d2dc3089051565caeca7)
는 고윳값
를 가지며, 따라서 부분 복소수 벡터 공간
![{\displaystyle E_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =E_{x}^{+}\oplus E_{x}^{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81cdd65300167a3cc84b9631407e7d2f9629af69)
![{\displaystyle (J_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )\upharpoonright E_{x}^{\pm }=\pm \mathrm {i} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35fa0cdc067d6e34f038310a8bc6b80001870c2)
을 정의할 수 있다. 또한, 표준적인 사상
![{\displaystyle (-)^{\pm }\colon E_{x}\to E_{x}^{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8767fc839ecb4fbffe0232c9a787bd98c4ebece8)
![{\displaystyle (-)^{\pm }\colon v\mapsto \operatorname {proj} _{E_{x}^{\pm }}(v\otimes \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74de7cbae0291ed321edb41222bc9cf3283cf242)
이 존재한다.
그렇다면,
위의 에르미트 계량(Hermitian metric)은 다음 두 성질을 만족시키는 매끄러운 단면
![{\displaystyle h\in \Gamma ^{\infty }((E^{+})^{*}\otimes _{\mathbb {C} }(E^{-})^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3209bafc063d0a997fa8d51232b7de7aa47e40c7)
이다. (여기서
는 각 올에 대한 복소수 연속 쌍대 공간을 취하는 것이다.)
![{\displaystyle h_{x}(z^{+},w^{-})={\overline {h_{x}(z^{-},w^{+})}}\in \mathbb {C} \qquad (\forall z,w\in E_{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a664f0616ccaab5440fbd6054b0a5531a05180b)
![{\displaystyle h_{x}(z^{+},z^{-})\in \mathbb {R} ^{+}\qquad (\forall z\in E_{x}\setminus \{0\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aeab45486b6767f7ddb43e4b6a2f01be3d0bc19)
여기서
는 복소수의 복소켤레를 뜻한다.
이를 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다. 우선,
의 첨자를
로,
의 첨자를
로 표기하자. 마찬가지로,
에 대하여
의 성분을
로,
의 성분을
로 표기하자. 그렇다면,
![{\displaystyle h_{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {w}}^{\bar {j}}={\overline {h}}_{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {w}}^{\bar {j}}\in \mathbb {C} \qquad (\forall z,w\in E_{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f844623a36252510b05228a9529d729f0f2afe)
![{\displaystyle h_{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{\bar {j}}\in \mathbb {R} ^{+}\qquad (\forall z\in E_{x}\setminus \{0\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dcf37395459d46e522dcaa280da7bd893c99fc4)
특히, 첫째 조건은
가 에르미트 행렬을 이룬다는 것이며, 둘째 조건은 이 에르미트 행렬의 고윳값이 모두 양의 실수라는 것이다.
에르미트 다양체[편집]
개복소다양체 (또는 복소다양체)
이 주어졌다고 하자. 이 경우, 접다발
위에 개복소구조
가 주어져
을 정의할 수 있다.
에르미트 다양체
는
위에 에르미트 계량
가 주어진 복소다양체이다.
리만 구조[편집]
모든 에르미트 다양체는 자연스러운 리만 계량을 가져, 리만 다양체를 이룬다. 이 경우 리만 계량은 다음과 같다.
![{\displaystyle g^{\mathbb {C} }={\frac {1}{2}}(h+{\bar {h}})\in \Gamma ^{\infty }\left(\mathrm {T} ^{*}\!M\otimes _{\mathbb {R} }\mathrm {T} ^{*}\!M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/432950de316af7f0c29d96fca55007573cf18838)
이 경우,
이므로, 이는
로 제약이 가능하며, 이는 리만 계량을 이룬다.
또한,
를 사용하여 다음과 같은 (1,1)-복소수 미분 형식
를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {i} }{2}}(h-{\bar {h}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3378a7fa77d5e18e2dd37fb0dd0810259f29fc15)
![{\displaystyle \omega _{\alpha {\bar {\beta }}}={\frac {\mathrm {i} }{2}}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\mathrm {d} z^{\alpha }\wedge \mathrm {d} {\bar {z}}^{\bar {\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0f7b37cd3fe9293bd53e14cad8335cc1757dd6)
천 접속[편집]
복소다양체
위의 해석적 벡터 다발
위의 에르미트 계량
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
위에는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속
가 존재한다. 이를 천 접속([陳]接續, Chern connection)이라고 한다.
![{\displaystyle \nabla J=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a9d9e6a67c193964f8ae5c7d9651d74ebffd13)
![{\displaystyle \nabla g=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df8f74c4a479667a19d8ac51c2c726766cf7b66)
만약
일 경우 (에르미트 다양체), 이는
위의 레비치비타 접속과는 다르며, 비틀림을 가진다. 다만, 만약 에르미트 다양체가 켈러 다양체인 경우, 비틀림이 0이며, 천 접속과 레비치비타 접속은 일치한다.
외부 링크[편집]