오스굿 유일성 정리

동역학계 이론에서 오스굿 유일성 정리(영어: Osgood’s uniqueness theorem) 또는 오스굿 판정법(영어: Osgood’s criterion)은 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다. 피카르-린델뢰프 정리의 일반화이다.

정의

초깃값 문제

$y'(t)=f(t,y(t))$

$y(t_{0})=y_{0}$

를 생각하자.

열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 및 연속 함수 $f\colon [t_{0},t_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}$가 주어졌고, $f$에 대하여 다음 조건들을 만족시키는 연속 함수 $g\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$가 존재한다고 하자 (오스굿 조건, 영어: Osgood condition).

$g(0)=0$

$g(r)>0\qquad \forall r>0$

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} u}{g(u)}}=\infty$

$|f(t,y)-f(t,z)|\leq g(|y-z|)\qquad \forall (t,y),(t,z)\in [t_{0},t_{0}+a]\times U$

오스굿 유일성 정리에 따르면, 임의의 $y_{0}\in U$에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 $0<\delta \leq a$에 대하여 유일한 국소적 해 $y\colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U$를 갖는다.

오스굿 유일성 정리에서 $g\colon r\mapsto Lr$ ($L\geq 0$)를 취하면 피카르-린델뢰프 정리를 얻는다.

증명:

국소적 해의 존재는 페아노 존재 정리의 특수한 경우이다. 유일성의 증명은 다음과 같다. 귀류법을 사용하여, 서로 다른 두 해 $\phi ,\psi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U$를 갖는다고 가정하자. 그렇다면 $\phi (s)\neq \psi (s)$인 $s\in (t_{0},t_{0}+a]$가 존재한다. 이제

${\tilde {s}}=\sup\{t\in [t_{0},s]\colon \phi (t)=\psi (t)\}\in [t_{0},s)$

$h\colon [{\tilde {s}},s]\to [0,\infty )$

$h\colon t\mapsto |\phi (t)-\psi (t)|$

라고 하자. 그렇다면, 임의의 $t\in ({\tilde {s}},s]$에 대하여

$h'(t)={\frac {\langle \phi (t)-\psi (t)\rangle ,\phi '(t)-\psi '(t)\rangle }{|\phi (t)-\psi (t)|}}\leq |\phi '(t)-\psi '(t)|=|f(t,\phi (t))-f(t,\psi (t))|\leq g(|\phi (t)-\psi (t)|)=g(h(t))$

이다. 즉,

${\frac {h'(t)}{g(h(t))}}\leq 1$

이다. 따라서

$\int _{0}^{h(s)}{\frac {\mathrm {d} r}{g(r)}}=\int _{\tilde {s}}^{s}{\frac {h'(t)\mathrm {d} t}{g(h(t))}}\leq s-{\tilde {s}}<\infty$

이며, 이는 모순이다.

역사

윌리엄 포그 오스굿(영어: William Fogg Osgood)의 이름을 땄다.

참고 문헌

• Cid, J. Ángel (2003년 5월 1일). “On uniqueness criteria for systems of ordinary differential equations”. 《Journal of Mathematical Analysis and Applications》 (영어) 281 (1): 264–275. doi:10.1016/S0022-247X(03)00096-9. ISSN 0022-247X. 

외부 링크

• “Osgood criterion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.