오퍼라드 이론에서 오퍼라드 대수(operad代數, 영어: operad algebra)는 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는, 어떤 대칭 모노이드 범주 속의 구조이다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 대칭 모노이드 범주
![{\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e60b3d52b946dbdc328b52e8df3d53b439e314)
속의 오퍼라드 ![{\displaystyle P=(P(n))_{n\in \mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f2781b4158556fefb4de6616f912b6a7f2fcf3)
그렇다면,
위의 대수는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 대상
![{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0f1e44334d39c0ba83ae6d79d31cede4491cc8)
- 각 자연수
에 대하여, 사상 ![{\displaystyle P(n)\otimes X^{\otimes n}\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d97b0904e138cbcc56f26d6e137cd34e666b8bd)
이는
의 구조(항등 연산 · 변수 치환 · 연산 합성)와 적절한 호환 조건들을 만족시켜야 한다.
닫힌 대칭 모노이드 범주의 경우[편집]
닫힌 대칭 모노이드 범주
의 경우, 약간 다른 정의가 가능하다. 이 경우, 임의의 대상
에 대하여, 자명한 오퍼라드
를 다음과 같이 정의할 수 있다.
의
항 연산은 내부 준동형사상 대상
이다.
- 연산의 합성은
의 결합성으로부터 유도된다.
이 경우,
에 대한 오퍼라드
위의 대수(영어: algebra over
)
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
는
의 대상이다.
는 오퍼라드 사상
이다.
체
위의 벡터 공간의 대칭 모노이드 범주
를 생각하자. 그 속의 오퍼라드
위의 대수는
-결합 대수이다.
마찬가지로, A∞-대수는 A∞-오퍼라드 위의 대수이다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]