와인버그-위튼 정리

물리학에서 와인버그-위튼 정리(Weinberg-Witten theorem)는 기본 힘이 아닌 특정 종류의 창발된 힘(emergent force)이 불가능하다는 정리다. 와인버그-위튼 정리에 따르면, 4차원 민코프스키 시공간에서 힘을 매개하는 입자는 오직 스핀 0, 1 ,2만을 가질 수 있다.

역사

1980년대 학계에서는 앞선입자나 테크니컬러(technicolour) 등 오늘날 기본 입자로 이해하는 입자가 사실은 강입자처럼 더 작은 입자가 뭉쳐진 복합 입자(composite)라고 보는 관점이 유행하였다. 이 관점을 이를 힘을 매개하는 보손에 적용하면 기본힘도 사실은 단순히 현상론적일 수 있다고 많은 이들은 생각하였다.

이러한 모형이 수학적으로 불가능할 수 있다고 케이스(K. M. Case)와 가시오로비츠(S. G. Gasiorowicz)가 제안하였고, 스티븐 와인버그와 에드워드 위튼이 이러한 모형들이 수학적으로 불가능하다는 사실을 증명하였다. 이 정리는 오늘날 와인버그-위튼 정리라고 불린다.

정리

• 3+1차원 양자장론에서, 푸앵카레 공변하고, 무질량 입자에 의해 운반되는 4차원 벡터류(流)를 보존하려면, 그 입자의 나선도(helicity) |h|는 ½ 보다 작아야 한다.
• 3+1차원 양자장론에서, 푸앵카레 공변하는 에너지-운동량 텐서를 보존하려면, 모든 무질량 입자는 나선도 |h|가 1 보다 작아야 한다.

어떤 입자의 나선도는 스핀의 선형 운동량 방향에 대한 사영이다. 스핀이 n일 때 가능한 나선도는 n, n-1,.., -n이다.

적용

이 정리를 창발된(떠오른, 나타난, emergent) 이론과 합성(composite) 이론에 적용할 수 있다.

창발된 중력(emergent gravity)은 게이지 대칭성을 이용하여 중력자를 만들어 중력을 설명하고자 하는 시도이다. 만약 중력이 4차원의 민코프스키 공간 즉 평평한 공간의 창발된 이론이라면, 뇌터의 정리에 의해 푸앵카레 공변이며 보존되는 에너지-운동량 텐서를 만들 수 있다. 만약 이론이 내부 게이지 대칭성(양-밀즈 이론과 같이)을 갖는다면 벨린판테-로젠펠트 스트레스-에너지 텐서를 만들어 게이지 불변성을 보일 수 있다. 그러나 이 공간에서는 미분동형사상 대칭(diffeomorphism symmetry)이 없기 때문에 와인버그-위트 정리에 의해 스핀 2인 중력자를 만들어낼 수 없다.

또 광역 대칭(global symmetry)으로 보존되는 4차원 벡터류를 만든다고 해도, 이 광역 대칭에 대해 전하를 갖는 스핀 1이고 질량이 없는 벡터 보손을 만들 수 없다. 즉 나타내는 게이지 이론을 광역 대칭으로 만들 수 없다.

예외

비가환적 게이지 이론

비가환적 게이지 이론, 또는 양-밀스 이론은 질량이 0이고 헬리서티 1인 입자, 즉 게이지 보손으로 전류를 만들 수 있다. 이는 전류가 푸앵카레 불변이 아니지만 게이지 대칭성까지 고려한 푸앵카레 불변량이 보존되면 되기 때문이다. 즉, $\partial ^{\mu }J_{\mu }=0$은 아니지만 $D^{\mu }J_{\mu }=0$이기 때문이다. 여기에서 D는 공변 미분으로, 게이지 변환을 포함한다. 어떤 게이지를 고정시키면 이 이론은 푸앵카레 대칭 불변이 아니다.

일반상대론

비가환적 게이지 이론과 마찬가지로, 일반 상대론에서도 에너지-모멘텀 텐서 자체는 푸앵카레 불변이 아니지만, 좌표 변형 대칭(general coordinate transformation)을 고려하면 포앙카레 불변량이 된다. 이를 게이지 대칭으로 보아도 된다.

무거운 게이지 보손 이론, 무거운 중력자 상대론

질량이 0인 힘의 매개체가 아니므로 괜찮다. 가령 전역(global) 대칭에 의해 질량이 0이고 스핀이 1인 벡터 보손은 만들 수 없지만, 질량이 있는 W와 Z 보손 등은 전역 대칭에 의해 전하를 띠도록, 더 기본적인 가상의 입자(앞선입자 등)을 이용하여 만들 수 있다.

추가 차원

그러나 90년대 말, 추가 차원을 고려하면 이 정리의 전제와 다른 상황을 상정할 수 있기 때문에 창발된 힘도 가능하다. 가령 4+1차원을 생각하면, 전류가 흐르는 공간(5차원)과 로렌츠 대칭이 있는 공간(4차원)이 다르므로 이 정리를 피해갈 수 있다.

참고 문헌

• Loebbert, F. (2008년 9월). “The Weinberg-Witten theorem on massless particles: an essay” (PDF). 《Annalen der Physik》 (영어) 17 (9–10): 803–829. doi:10.1002/andp.200810305. 
• Kugo, T. (1982년 2월 18일). “Limitations on the existence of massless composite states”. 《Physics Letters B》 (영어) 109 (3): 205–208. doi:10.1016/0370-2693(82)90754-7. 
• Bekaert, Xavier; Nicolas Boulanger, Per A. Sundell (2012). “How higher-spin gravity surpasses the spin-two barrier”. 《Reviews of Modern Physics》 (영어) 84 (3): 987–1009. arXiv:1007.0435. doi:10.1103/RevModPhys.84.987. 
• Porrati, Massimo (2012). “Old and New No Go Theorems on Interacting Massless Particles in Flat Space” (영어). arXiv:1209.4876. 
• Jenkins, Alejandro (2008). 《Topics in particle physics and cosmology beyond the standard model》 (영어). 박사 학위 논문. California Institute of Technology. 23–29쪽. arXiv:hep-th/0607239. Bibcode:2006PhDT........96J.