위그너 분류

위그너 분류(영어: Wigner’s classification)는 입자를 그 푸앵카레 표현에 따라 분류하는 방법이다.^[1]^[2] 유진 위그너가 1939년에 도입하였다.^[3]^[4]

4차원 위그너 분류[편집]

푸앵카레 군은 두 개의 카시미르 불변량을 갖는다. 이는 질량 $P^{2}$ 과 파울리-루반스키 벡터의 제곱 $W^{2}$ 다. 이를 이용하여 입자를 분류할 수 있다.

유질량[편집]

$P^{2}>0$ 인 경우다. 이 때는 $P_{0}=0$ 인 경우 (즉 정지틀에서는) 안정자군은 SO(3) (또는 페르미온의 경우 그 2겹 피복 Spin(3))이다. 따라서 유질량 입자는 양의 실수 $m$ 과 Spin(3)=SU(2)의 표현으로 나타낸다. SU(2)의 표현은 정수 또는 반홀수(half-integer) 0, ½, 1, 1½ 등으로 나타낸다.

무질량[편집]

$P^{2}=0$ , $P_{0}>0$ 인 경우다. 이 때는 $P_{0}=k$ , $P_{3}=-k$ , $P_{1}=P_{2}=0$ 인 경우를 생각하자. 이 때는 그 안정자군은 유클리드 군 $\operatorname {ISO} (2)$ 다. $\operatorname {ISO} (2)$ 의 표현은 반정수의 나선도로 나타내어지는 것과 연속적인 실수로 나타내어지는 것이 있다. 후자는 연속 스핀 표현(continuous-spin representation)이라고 하며,^[5] 자연계에 존재하지 않는다.

타키온[편집]

$P^{2}<0$ 인 경우는 타키온이다. 자연계에 존재하지 않는다.

진공[편집]

$P^{2}=0$ , $P_{0}=0$ 인 경우다. 이 경우에는 표현은 단 하나밖에 없으며, 진공을 나타낸다.

3차원 위그너 분류[편집]

3차원에서는 애니온이 존재하므로, 위그너 분류가 고차원과 다르다.^[6]

이 경우, 카시미르 연산자는 다음과 같다.

P^{2}=m^{2}

P\cdot J=mh

여기서 $m$ 은 불변 질량이며, $h$ 는 상대론적 나선도(relativistic helicity)이다. 나선도 $h$ 는 무질량 입자의 경우 정의되지 않는다. 이 경우, 음이 아닌 에너지를 가진 표현의 분류는 다음과 같다.

유질량 $m>0$ $m>0$ . 정지틀 안정자군이 $O(2)$ $O(2)$ 이므로, 이는 나선도 $h\in \mathbb {R}$ $h\in \mathbb {R}$ 에 따라 분류된다.
- $h\in \mathbb {Z}$ : 보손
- $h+1/2\in \mathbb {Z}$ : 페르미온
- $2h\not \in \mathbb {Z}$ : 애니온
무질량 $m=0$ $m=0$ . 이 경우 안정자군은 $(\mathbb {Z} /2)\times \mathbb {R}$ $(\mathbb {Z} /2)\times \mathbb {R}$ 이며, 표현은 $\mathbb {Z} /2$ $\mathbb {Z} /2$ 기약표현 $\epsilon =\pm$ $\epsilon =\pm$ 과 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 의 기약표현으로 나타내어진다. 후자의 기약표현은 실수 $t\in \mathbb {R}$ $t\in \mathbb {R}$ 에 따라 분류된다.
- 무질량 보손: $(\epsilon =+,t=0)$
- 무질량 페르미온: $(\epsilon =-,t=0)$
- 연속 스핀 표현: $t\neq 0$ (자연계에 존재하지 않음)
진공. 이 경우 안정자군은 $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ 전체이다. $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ 의 표현은 여러 가지가 있으나, 자연계에 존재하는 것은 그 자명한 표현(진공)밖에 없다.

기타 대칭군[편집]

민코프스키 공간에서의 초대칭을 나타내는 초 푸앵카레 군에 대해서도 위그너 표현이 존재한다. 이는 베르너 남이 1978년 발표하였고,^[7] 초다중항들에 해당한다.

4차원 등각 대칭군 $\operatorname {SU} (2,2)$ 의 경우에도 위그너 표현이 알려져 있다.^[8]

각주[편집]

↑ Straumann, Norbert (2008년 9월 3일). “Unitary Representations of the inhomogeneous Lorentz Group and their Significance in Quantum Physics”. arXiv:0809.4942.
↑ de Faria, Edson; Welington de Melo (2010년 8월). 《Mathematical Aspects of Quantum Field Theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 127. 87–92쪽. ISBN 9780521115773.
↑ Wigner, Eugene (1939). “On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group” (PDF). 《Annals of Mathematics (Second Series)》 40 (1): 149–204. doi:10.2307/1968551. JSTOR 1968551. MR 1503456. 2015년 10월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 1월 22일에 확인함. 재판 Wigner, Eugene (1989년 3월). “On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 6: 9–64. doi:10.1016/0920-5632(89)90402-7. 다음 글자 무시됨: ‘저널 인용’ (도움말) Wigner, Eugene (1988). 〈On Unitary Representations of the Inhomogeneous Lorentz Group〉. 《Special Relativity and Quantum Theory: A Collection of Papers on the Poincaré Group》. Fundamental Theories of Physics 33. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. 31-102쪽. doi:10.1007/978-94-009-3051-3_3. ISBN 978-94-010-7872-6.
↑ Bargmann, V.; E. Wigner (1948년 5월 1일). “Group theoretical discussion of relativistic wave equations”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 34 (5): 211–223.
↑ Brink, Lars; Abu M. Khan, Pierre Ramond, Xiaozhen Xiong (2002년 12월). “Continuous spin representations of the Poincaré and super-Poincaré groups”. 《Journal of Mathematical Physics》 43 (12): 6279. arXiv:hep-th/0205145. doi:10.1063/1.1518138.
↑ Binegar, Birne (1981). “Relativistic field theories in three dimensions”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 23 (8): 1511. doi:10.1063/1.525524.
↑ Nahm, Werner (1978). “Supersymmetries and their representations” (PDF). 《Nucl. Phys. B》 (영어) 135: 149. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 6월 18일에 확인함.
↑ Mack, G. (1977). “All unitary ray representations of the conformal group SU(2,2) with positive energy” (영어) 55 (1): 1–28. MR 0447493. Zbl 0352.22012.

Gross, David J. (2005년 12월). “Symmetry in Physics: Wigner's Legacy” (PDF). 《Physics Today》 48 (12): 46–50. doi:10.1063/1.881480. 2012년 3월 19일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 1월 22일에 확인함.
Kim, Young S.; Marilyn E. Noz (2010). “Internal Space-time Symmetries according to Einstein, Wigner, Dirac, and Feynman”. 다음 글자 무시됨: ‘1007.0517’ (도움말);

[1] Straumann, Norbert (2008년 9월 3일). “Unitary Representations of the inhomogeneous Lorentz Group and their Significance in Quantum Physics”. arXiv:0809.4942.

[2] Faria, Edson; Welington de Melo (2010년 8월). 《Mathematical Aspects of Quantum Field Theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 127. 87–92쪽. ISBN 9780521115773.

[3] Wigner, Eugene (1939). “On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group” (PDF). 《Annals of Mathematics (Second Series)》 40 (1): 149–204. doi:10.2307/1968551. JSTOR 1968551. MR 1503456. 2015년 10월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 1월 22일에 확인함. 재판 Wigner, Eugene (1989년 3월). “On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 6: 9–64. doi:10.1016/0920-5632(89)90402-7. 다음 글자 무시됨: ‘저널 인용’ (도움말) Wigner, Eugene (1988). 〈On Unitary Representations of the Inhomogeneous Lorentz Group〉. 《Special Relativity and Quantum Theory: A Collection of Papers on the Poincaré Group》. Fundamental Theories of Physics 33. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. 31-102쪽. doi:10.1007/978-94-009-3051-3_3. ISBN 978-94-010-7872-6.

[4] Bargmann, V.; E. Wigner (1948년 5월 1일). “Group theoretical discussion of relativistic wave equations”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 34 (5): 211–223.

[5] Brink, Lars; Abu M. Khan, Pierre Ramond, Xiaozhen Xiong (2002년 12월). “Continuous spin representations of the Poincaré and super-Poincaré groups”. 《Journal of Mathematical Physics》 43 (12): 6279. arXiv:hep-th/0205145. doi:10.1063/1.1518138.

[6] Binegar, Birne (1981). “Relativistic field theories in three dimensions”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 23 (8): 1511. doi:10.1063/1.525524.

[7] Nahm, Werner (1978). “Supersymmetries and their representations” (PDF). 《Nucl. Phys. B》 (영어) 135: 149. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 6월 18일에 확인함.

[8] Mack, G. (1977). “All unitary ray representations of the conformal group SU(2,2) with positive energy” (영어) 55 (1): 1–28. MR 0447493. Zbl 0352.22012.

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