자이페르트-판 캄펀 정리

대수적 위상수학에서 자이페르트-판 캄펀 정리(-定理, 영어: Seifert–van Kampen theorem)는 위상 공간의 기본군을 두 조각으로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 정리이다.

정의

위상 공간 $X$ 및 두 부분 공간 $A,B\subseteq X$가 주어졌고, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

• $\operatorname {int} A\cup \operatorname {int} B=X$

또한, 부분 공간 $C\subseteq X$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• $A$ 또는 $B$ 또는 $A\cap B$의 임의의 경로 연결 성분과의 교집합은 공집합이 아니다.

그렇다면, 자이페르트-판 캄펀 정리에 따르면 다음 명제들이 성립한다.

• $C$는 $X$의 모든 경로 연결 성분들과 교차한다.
• 포함 관계에 의하여 유도되는 다음과 같은 기본 준군의 사상들은 준군 범주에서의 밂을 이룬다.

  ${\begin{matrix}\Pi _{1}(A\cap B,C)&\to &\Pi _{1}(A,C)\\\downarrow &&\downarrow \\\Pi _{1}(B,C)&\to &\Pi _{1}(X,C)\end{matrix}}$

특히, $A$와 $B$가 경로 연결 공간이며, $C=\{c\}\subseteq A\cap B$는 한원소 집합이며, $A\cap B$는 공집합이 아닌 경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면 $X$는 경로 연결 공간이며, 다음과 같은, 기본군의 (군의 범주에서의) 밂이 존재한다.

${\begin{matrix}\pi _{1}(A\cap B,c)&\to &\pi _{1}(A,c)\\\downarrow &&\downarrow \\\pi _{1}(B,c)&\to &\pi _{1}(X,c)\end{matrix}}$

예

원

원 $\mathbb {S} ^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$에서,

$A=(-1/3,2/3)/\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {S} ^{1}$

$B=(1/3,4/3)/\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {S} ^{1}$

를 생각하자. 또한

$C=\{0,1/2\}/\mathbb {Z} \subsetneq A\cap B$

라고 놓자. 그렇다면, $A$와 $B$ 및 $A\cap B$의 밑점 집합 $C$에서의 기본 준군은 다음과 같다. (항등 사상은 생략하였다.)

$\Pi _{1}(A,C)\colon {\overset {0}{\bullet }}{{\xrightarrow {\phi }} \atop {\xleftarrow[{\phi ^{-1}}]{}}}{\overset {1/2}{\bullet }}$

$\Pi _{1}(B,C)\colon {\overset {0}{\bullet }}{{\xrightarrow {\phi '^{-1}}} \atop {\xleftarrow[{\phi '}]{}}}{\overset {1/2}{\bullet }}$

$\Pi _{1}(A\cap B,C)\colon {\overset {0}{\bullet }}\qquad {\overset {1/2}{\bullet }}$

따라서, 원의 기본은 $A$와 $B$의 준군들의 쌍대곱이다. 이 경우 항등 사상이 아닌 사상 $\phi '\circ \phi \colon 0\to 0$이 존재하므로, $\hom(0,0)$ 및 $\hom(1/2,1/2)$ 둘 다 무한 순환군 $\mathbb {Z}$이다. $0$과 $1/2$는 $\Pi _{1}(\mathbb {S} ^{1},\{0,1/2\})$에서 서로 동형이다. 따라서 $\mathbb {S} ^{1}$의 기본군은 무한 순환군이다.

구

2차원 이상의 초구 $\mathbb {S} ^{n}$에서, 세 개의 서로 다른 점 $a,b,c\in \mathbb {S} ^{n}$를 잡고,

$A=\mathbb {S} ^{n}\setminus \{a\}$

$B=\mathbb {S} ^{n}\setminus \{b\}$

로 놓자. 그렇다면 $A$와 $B$ 둘 다 $n$차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$과 위상 동형이며, 특히 축약 가능 공간이다. $A\cap B$는 기둥 $\mathbb {S} ^{n-1}\times \mathbb {R}$와 위상 동형이다.

자이페르트-판 캄펀 정리에 따라, 다음이 성립한다.

$\pi _{1}(\mathbb {S} ^{n},c)=\pi _{1}(A,c)*_{\pi _{1}(A\cap B,c)}\pi _{1}(B,c)$

그런데 $\pi _{1}(A)$와 $\pi _{1}(B)$ 둘 다 자명군이므로, $\pi _{1}(\mathbb {S} ^{n})$ 역시 자명군이다.

역사

헤르베르트 자이페르트^{:§3, 33–36:199}와 에흐베르튀스 판 캄펀이 증명하였다. 로널드 브라운(영어: Ronald Brown)이 이를 기본 준군에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “van Kampen's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Van Kampen theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Higher van Kampen theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Higher homotopy van Kampen theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Van Kampen colimit”. 《nLab》 (영어). 
• “Van Kampen theorem for toposes”. 《nLab》 (영어). 
• “Seifert-van Kampen theorem”. 《Topospaces》 (영어). 
• Tao, Terrence (2012년 10월 28일). “van Kampen’s theorem via covering spaces”. 《What’s New》 (영어). 
• “Generalisations of the Seifert-van Kampen Theorem?” (영어). Math Overflow. 
• “What was Seifert's contribution to the Seifert-van Kampen theorem?” (영어). Math Overflow.