중심곱

군론에서, 중심곱(中心곱, 영어: central product)은 두 군을 합성하여 더 큰 군을 만드는 이항 연산이다.^:29 직접곱과 유사하나, 이 경우 두 군의 중심(의 부분군)이 중복되지 않는다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 두 군 $H$, $K$
• 두 중심 부분군 $H^{\circ }\leq \operatorname {Z} (H)$, $K^{\circ }\leq \operatorname {Z} (K)$
• 군 동형 사상 $\theta \colon H^{\circ }\to K^{\circ }$

그렇다면, 이에 대한 중심곱은 다음과 같은 군이다.

$H\circ K={\frac {H\times K}{\{(h,k)\in H^{\circ }\times K^{\circ }\colon \theta (h)k=1\}}}$

만약 $H^{\circ }=K^{\circ }=1$일 경우 이는 군의 직접곱과 같다. 만약 $(H^{\circ },K^{\circ })$가 구체적으로 언급되지 않을 경우, 보통 $H^{\circ }=\operatorname {Z} (H)$, $K^{\circ }=\operatorname {Z} (K)$를 의미한다.

예

파울리 행렬 $\sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}$ 및 $\mathrm {i}$로 생성되는 유한군인 파울리 군(영어: Pauli group)

$G\leq \operatorname {GL} (2;\mathbb {C} )$

을 생각하자. 이는 크기 16의 유한군이며, 크기 8의 정이면체군과 4차 순환군의 중심곱이다.

$G\cong \operatorname {Dih} (\operatorname {Cyc} (4))\circ \operatorname {Cyc} (4)$

외부 링크

• “Central product of groups”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.