양자장론 에서 켈렌-레만 스펙트럼 표현 (Källén–Lehmann spectral representation )은 상호작용하는 양자장론 의 2점 함수 의 특이점들을 이론에 존재하는 상태들의 정지 질량 들의 스펙트럼으로 표현하는 공식이다.
스웨덴의 군나르 켈렌(스웨덴어 : Gunnar Källén )이 1952년에 도입하고,[1] 독일의 해리 레만(독일어 : Harry Lehmann )이 1954년에 개량하였다.[2]
푸앵카레 대칭 을 깨지 않는 양자장론 에서 에르미트 스칼라장
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \phi (x)}
를 생각하자. 이 스칼라장은 자유장이 아니고 상호작용하는 이론의 하이젠베르크 묘사 로 나타난나고 하자. 그렇다면 이 입자의 2점 함수 의 켈렌-레만 스펙트럼 표현 은 다음과 같다.
⟨
0
|
T
[
ϕ
(
x
)
ϕ
(
y
)
]
|
0
⟩
=
∫
0
∞
d
M
2
2
π
ρ
(
M
2
)
Δ
F
(
x
−
y
;
M
)
{\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}[\phi (x)\phi (y)]|0\rangle =\int _{0}^{\infty }{\frac {dM^{2}}{2\pi }}\rho (M^{2})\Delta _{\text{F}}(x-y;M)}
.
여기서
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
는 상호작용하는 장의 진공이고,
Δ
F
(
x
−
y
;
M
)
{\displaystyle \Delta _{\text{F}}(x-y;M)}
은 질량
M
{\displaystyle M}
을 갖는 스칼라 입자의 파인먼 전파 인자 다.
ρ
(
M
2
)
{\displaystyle \rho (M^{2})}
는 이론에 따라 다른 함수로, 스펙트럼 밀도 (spectral density )라고 한다. 스펙트럼 함수
ρ
(
M
2
)
{\displaystyle \rho (M^{2})}
의 디랙 델타 함수 꼴의 특이점은 하나의 입자를 포함하는 상태들이다. 스펙트럼 함수가 0이 아니고 연속적인 부분들은 다입자 상태들을 나타낸다. 스핀 을 가지는 장의 경우에도 유사한 스펙트럼 표현이 존재한다.
푸앵카레 대칭 을 따르고 (푸앵카레 자발 대칭 깨짐 이 일어나지 않고), 진공
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
을 가진 양자장론 을 생각하자.
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \phi (x)}
가 국소 에르미트 로런츠 스칼라 연산자라고 하자. 이 연산자는 병진 변환을 사용하여
ϕ
(
x
)
=
exp
(
i
P
^
⋅
x
)
ϕ
(
0
)
exp
(
−
i
P
^
⋅
x
)
{\displaystyle \phi (x)=\exp(i{\hat {P}}\cdot x)\phi (0)\exp(-i{\hat {P}}\cdot x)}
로 나타낼 수 있다. 여기서
P
^
μ
{\displaystyle {\hat {P}}^{\mu }}
는 사차원 운동량 연산자이다.
U
(
Λ
)
{\displaystyle U(\Lambda )}
가 로런츠 변환 이라고 하자.
ϕ
{\displaystyle \phi }
는 로런츠 스칼라라고 가정하였으므로,
U
(
Λ
)
ϕ
(
x
)
U
−
1
(
Λ
)
=
ϕ
(
Λ
ν
μ
x
ν
)
{\displaystyle U(\Lambda )\phi (x)U^{-1}(\Lambda )=\phi (\Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu })}
이다. 여기서
Λ
ν
μ
{\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}
는
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }}
에 대한 로런츠 변환 행렬이다.
|
λ
p
⟩
{\displaystyle |\lambda _{\mathbf {p} }\rangle }
가, 총 사차원 운동량 이
p
μ
=
(
E
p
,
p
)
=
(
m
2
+
p
2
,
p
)
{\displaystyle p^{\mu }=(E_{\mathbf {p} },\mathbf {p} )=({\sqrt {m^{2}+\mathbf {p} ^{2}}},\mathbf {p} )}
인 상태라고 하자. 그렇다면
P
^
|
λ
p
⟩
=
p
μ
|
λ
p
⟩
{\displaystyle {\hat {P}}|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle =p^{\mu }|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle }
이다.
U
p
{\displaystyle U_{p}}
가
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }}
의 질량 중심 관성계로 변환시키는 로런츠 변환 연산자라고 하자. 즉,
U
p
|
λ
p
⟩
=
|
λ
0
⟩
{\displaystyle U_{p}|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle =|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle }
이다. 진공은 푸앵카레 대칭에 대하여 불변이므로,
P
^
|
0
⟩
=
0
{\displaystyle {\hat {P}}|0\rangle =0}
U
p
|
0
⟩
=
|
0
⟩
{\displaystyle U_{p}|0\rangle =|0\rangle }
이다. 따라서
⟨
0
|
ϕ
(
x
)
|
λ
p
⟩
{\displaystyle \langle 0|\phi (x)|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle }
=
⟨
0
|
exp
(
i
P
^
⋅
x
)
ϕ
(
0
)
exp
(
−
i
P
^
⋅
x
)
|
λ
p
⟩
{\displaystyle =\langle 0|\exp(i{\hat {P}}\cdot x)\phi (0)\exp(-i{\hat {P}}\cdot x)|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle }
=
exp
(
−
i
p
⋅
x
)
⟨
0
|
ϕ
(
0
)
|
λ
p
⟩
{\displaystyle =\exp(-ip\cdot x)\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle }
=
exp
(
−
i
p
⋅
x
)
⟨
0
|
U
p
−
1
ϕ
(
0
)
U
p
|
λ
p
⟩
{\displaystyle =\exp(-ip\cdot x)\langle 0|U_{p}^{-1}\phi (0)U_{p}|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle }
=
exp
(
−
i
p
⋅
x
)
⟨
0
|
ϕ
(
0
)
|
λ
0
⟩
{\displaystyle =\exp(-ip\cdot x)\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle }
이다. 또한,
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \phi (x)}
의 진공 기댓값 이
⟨
0
|
ϕ
(
x
)
|
0
⟩
=
⟨
0
|
ϕ
(
0
)
|
0
⟩
=
0
{\displaystyle \langle 0|\phi (x)|0\rangle =\langle 0|\phi (0)|0\rangle =0}
이라고 가정하자. (그렇지 않는 경우,
ϕ
~
(
x
)
=
ϕ
(
x
)
−
⟨
ϕ
⟩
{\displaystyle {\tilde {\phi }}(x)=\phi (x)-\langle \phi \rangle }
로 장을 재정의할 수 있다.)
ϕ
{\displaystyle \phi }
의 2점 함수 는 다음과 같다.
⟨
0
|
T
[
ϕ
(
x
)
ϕ
(
y
)
]
|
0
⟩
{\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}[\phi (x)\phi (y)]|0\rangle }
.
여기에 다음과 같은 단위 연산자
1
^
=
|
0
⟩
⟨
0
|
+
∑
λ
∫
d
3
p
(
2
π
)
3
2
E
p
|
λ
p
⟩
⟨
λ
p
|
{\displaystyle {\hat {1}}=|0\rangle \langle 0|+\sum _{\lambda }\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{(2\pi )^{3}2E_{\mathbf {p} }}}|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle \langle \lambda _{\mathbf {p} }|}
를 삽입하고, 병진 변환을 사용하면 다음과 같다.
⟨
0
|
T
[
ϕ
(
x
)
ϕ
(
y
)
]
|
0
⟩
{\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}[\phi (x)\phi (y)]|0\rangle }
=
∑
λ
T
[
∫
d
3
p
(
2
π
)
3
2
E
p
⟨
0
|
ϕ
(
x
)
|
λ
p
⟩
⟨
λ
p
|
ϕ
(
y
)
|
0
⟩
]
{\displaystyle =\sum _{\lambda }{\mathcal {T}}\left[\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{(2\pi )^{3}2E_{\mathbf {p} }}}\langle 0|\phi (x)|\lambda _{\mathbf {p} }\rangle \langle \lambda _{\mathbf {p} }|\phi (y)|0\rangle \right]}
=
∑
λ
|
⟨
0
|
ϕ
(
0
)
|
λ
0
⟩
|
2
∫
d
3
p
(
2
π
)
3
2
E
p
exp
(
i
p
⋅
(
y
−
x
)
sgn
(
x
0
−
y
0
)
)
{\displaystyle =\sum _{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle \right|^{2}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{(2\pi )^{3}2E_{\mathbf {p} }}}\exp \left(ip\cdot (y-x)\operatorname {sgn} (x_{0}-y_{0})\right)}
여기에 경로적분법 을 역으로 사용하여
∫
d
p
0
/
2
π
{\displaystyle \int dp^{0}/2\pi }
를 추가하자.
=
∑
λ
|
⟨
0
|
ϕ
(
0
)
|
λ
0
⟩
|
2
∫
d
4
p
(
2
π
)
4
i
p
2
−
m
λ
2
+
i
ϵ
exp
(
i
p
⋅
(
y
−
x
)
)
{\displaystyle =\sum _{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle \right|^{2}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p^{2}-m_{\lambda }^{2}+i\epsilon }}\exp \left(ip\cdot (y-x)\right)}
=
∑
λ
|
⟨
0
|
ϕ
(
0
)
|
λ
0
⟩
|
2
∫
d
4
p
(
2
π
)
4
i
p
2
−
m
λ
2
+
i
ϵ
exp
(
i
p
⋅
(
y
−
x
)
)
{\displaystyle =\sum _{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle \right|^{2}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p^{2}-m_{\lambda }^{2}+i\epsilon }}\exp \left(ip\cdot (y-x)\right)}
=
∑
λ
|
⟨
0
|
ϕ
(
0
)
|
λ
0
⟩
|
2
Δ
F
(
x
−
y
;
m
λ
)
{\displaystyle =\sum _{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle \right|^{2}\Delta _{\text{F}}(x-y;m_{\lambda })}
.
여기서
Δ
F
(
x
−
y
;
m
λ
)
{\displaystyle \Delta _{\text{F}}(x-y;m_{\lambda })}
는 정지 질량 이
m
λ
{\displaystyle m_{\lambda }}
인 스칼라 입자의 파인먼 전파 인자 이다.
이제 스펙트럼 밀도 (spectral density )
ρ
(
M
2
)
{\displaystyle \rho (M^{2})}
를 다음과 같이 정의하자.
ρ
(
M
2
)
≡
2
π
∑
λ
|
⟨
0
|
ϕ
(
0
)
|
λ
0
⟩
|
2
δ
(
M
2
−
m
λ
2
)
{\displaystyle \rho (M^{2})\equiv 2\pi \sum _{\lambda }\left|\langle 0|\phi (0)|\lambda _{\mathbf {0} }\rangle \right|^{2}\delta (M^{2}-m_{\lambda }^{2})}
.
여기서
δ
(
)
{\displaystyle \delta ()}
는 디랙 델타 함수 이다. 그렇다면
⟨
0
|
T
[
ϕ
(
x
)
ϕ
(
y
)
]
|
0
⟩
=
∫
0
∞
d
M
2
2
π
ρ
(
M
2
)
Δ
F
(
x
−
y
;
M
)
{\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}[\phi (x)\phi (y)]|0\rangle =\int _{0}^{\infty }{\frac {dM^{2}}{2\pi }}\rho (M^{2})\Delta _{\text{F}}(x-y;M)}
이다. 이를 켈렌-레만 스펙트럼 표현 이라고 한다.
같이 보기 [ 편집 ]
↑ Källén, Gunnar (1952). “On the definition of the renormalization constants in quantum electrodynamics”. 《Helvetica Physica Acta 》 (영어) (Birkhäuser) 25 (4): 417–434. doi :10.5169/seals-112316 .
↑ Lehmann, Harry (1954년 4월 1일). “Über Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen und Renormierungskonstanten quantisierter Felder”. 《Il Nuovo Cimento 》 (독일어) 11 (4): 342–357. doi :10.1007/BF02783624 .