큐-아날로그

큐-아날로그(q-analog)는 큐-팩토리얼, 큐-감마함수, 조합론 등에서 중요한 역할을 하는 팩토리얼(계승) 이론이다.

큐-아날로그 $,\;\;\;[n]_{q}$ 는 큐 브래킷(q-bracket) $n$ 또는 큐-넘버(q-number) $n$으로 읽는다.

어떤 객체가 큐-아날로그화되는(큐-성질을 갖는)지를 결정하는 메인 프레임 또는 그 메인 프레임 멤버 중 하나이다.

• 팩토리얼 표현

$[n]_{q}!={{(q;q)_{n}} \over {(1-q)^{n}}}\;\;\;$

• 전형적인 표현

$\lim _{q\rightarrow 1}{{1-q^{n}} \over {1-q}}=n$

• 큐-아날로그의 조합의 이항계수 표현

${\binom {n}{k}}_{q}$

$\;\;q\to 1$

${\binom {n}{k}}$

큐-성질을 갖게 된 함수들

• 큐-리만 제타 함수

$\zeta _{q}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {\left\{n\right\}_{q}^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{{q^{(n+x([n]_{q}))s}} \over {[n]_{q}^{s}}}$

• 큐-감마함수
• 큐-이항계수
• 큐-${\color {blue}{e}}$

$e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{{x^{n}} \over {[n]_{q}!}}$

• 큐-폴리감마 함수

큐-폴리감마 함수가 메인프레임의 멤버가 된 에르되시-보와인 상수

$E=\sum _{n=1}^{\infty }{{1} \over {2^{n}-1}}$

$\;\;=1-{{\psi _{1 \over 2}(1)} \over {ln}}\qquad \qquad \left(\psi _{q}^{(n)}(z)\right)$는 큐-폴리감마 함수

$\;\;=1.606695152415291763\cdots$

같이 보기

• 큐-팩토리얼
• 큐-포흐하머 심볼
• 에르되시-보와인 상수
• 수학 상수