크로네커 보조정리

수학에서 크로네커 보조정리(영어: Kronecker’s lemma)는 큰 수의 법칙의 증명에 사용되는 보조정리다. 이에 따르면, 수렴급수의 항이 0으로 수렴하는 속도는 충분히 빠르다. 증명은 아벨 변환과 슈톨츠-체사로 정리를 사용한다.

정의

크로네커 보조정리에 따르면, 임의의 두 실수 수열 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {R}$, $(b_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {R}$에 대하여, 만약 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

가 수렴하며,

$b_{0}\leq b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots$

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty$

라면,

$\lim _{n\to \infty }b_{n}^{-1}\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}=0$

이다.^{:255, Lemma 8.4.2:85, Theorem 2.5.9}

증명:

$A_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\qquad (n\in \mathbb {N} )$

$A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

이라고 하자. 아벨 변환과 슈톨츠-체사로 정리에 의하여, 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }b_{n}^{-1}\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}&=\lim _{n\to \infty }b_{n}^{-1}\left(A_{n}b_{n}-\sum _{i=0}^{n-1}A_{i}(b_{i+1}-b_{i})\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left(A_{n}-b_{n}^{-1}\sum _{i=0}^{n-1}A_{i}(b_{i+1}-b_{i})\right)\\&=\lim _{n\to \infty }(A_{n}-(b_{n}-b_{n-1})^{-1}A_{n-1}(b_{n}-b_{n-1}))\\&=\lim _{n\to \infty }(A_{n}-A_{n-1})\\&=A-A\\&=0\end{aligned}}$

외부 링크

• “Kronecker’s lemma”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Kronecker’s lemma”. 《ProofWiki》 (영어).