토론:0.999…

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보통

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증명[편집]

마지막 댓글: 14년 전댓글 2개인원 2명이 토론 중

x/9 = 0.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx....... 이다.
4/9 = 0.444444444444444444444....... 이다. -> a로 정의한다.
5/9 = 0.555555555555555555555....... 이다. -> b로 정의한다.
a+b = 4/9 + 5/9 = 1(분수 부분)
a+b = 0.44444444444444.......... + 0.5555555555555555.....(소수 부분)
따라서 a+b = 1 = 0.9999999999999999999........이다.

이렇게 하는 것도 맞는 증명법인가요? ---Kilsan97 (토론) 2009년 4월 29일 (수) 14:32 (KST)답변

초/중학교 교과서나 참고서에서 보통 그런 식으로 설명하지 않던가요? (또는 마찬가지 방법인데 x=0.999... 에 10배를 한 다음 9x = 10x - x = 9.999... - 0.999... = 9. 따라서 x = 1 이렇게.) 다만 이 방법은 유한한 자리수를 가진 수의 사칙 연산을 무한한 자리수에 대해서도 (직관적으로 그렇게 될 것이라고 생각하는 대로) 성립할 것이라고 가정하면서 얼렁뚱땅 넘어가는 것이기도 합니다. 결과가 틀렸다는 것은 아니지만요. Geropod (토론) 2009년 6월 14일 (일) 00:49 (KST)답변

x=0.999...일 때 10x=9.999...라고 하는 거 말이에요...[편집]

마지막 댓글: 7년 전댓글 3개인원 3명이 토론 중

그런데 그게 과연 좋은 방법인지 모르겠습니다...

같은 방법으로 1 + 2 + 4 + 8 +... = -1이라는 걸 증명할 수 있으니까요.

예를 들어 A = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...이라 둔다면 2A의 값은 2(1 + 2 + 4 + 8 + ...)이므로 2 + 4 + 8 + 16 + ...이 되겠지요.

그런데 재밌는 건 여기서 2A-A를 계산하면 -1이 나오는데요...

그 방법으로 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = 0 인 것도 증명이 가능한데요.

A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...

라고 할 때,

A-B = 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... 이라는 결과가 나옵니다.

여기서 A - B = B이니까 A = 2B가 되네요.

또 B-S = - 4 - 8 - 12 - 16 - ...이라는 결과가 나옵니다.

여기서 B - S = -4S이니까 B = -3S.

A+S = 2 + 1 + 4 + 3 + 6 + 5 + ... 이라는 결과가 나오는데요...

여기서 A + S = S가 나오므로 A=0이 되네요.

그런데 A=2B이니까 B=0이 되어버리고, B=-3S이니까 S=1+2+3+4+5+6+...=0이 되어버리네요...?

혹시 제가 잘못된 건가요? 수학 잘하시는 분은 지적 부탁합니다. --Cacbon dioxit (토론) 2015년 12월 28일 (월) 13:13 (KST)답변

x=0.999...와 10x=9.999...는 실수이기 때문에 계산 가능하지만 A=1+2+4+8+...와 2A=2+4+8+16...은 실수가 아니기 때문에 모순이 생깁니다. A=1-1+1-1+...와 B=1-2+3-4+... 의 경우도 마찬가지입니다 --39.119.24.13 (토론) 2016년 5월 18일 (수) 05:19 (KST)답변