토션트 상수

토션트 상수(Totient constant) 또는 토션트 합 상수(Totient summatory constant) 는 스티븐스 상수 및 알틴 상수 및 토션트 합 함수(Totient Summatory Function)등과 연관된 수학 상수이다.

$C_{t}=\prod _{p}^{}\left(1+{{1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)$

$C_{t}=1.339784153573....$ (OEIS의 수열 A065483)

토션트 상수 변형

$C_{t}=\prod _{p}^{}\left(1+{{1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}^{}\left({{p^{2}(p-1)+1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}^{}\left({{p^{3}-p^{2}+1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}^{}\left({{-p^{2}+1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)+\left({{p^{3}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}^{}\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)+\left({{p^{3}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}^{}\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)+\left({{p} \over {p-1}}\right)$

스티븐스 상수에서 알틴 상수와 토션트 상수

$C_{A}=\prod _{p=prime}^{}\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {p-1}}\right)$

$C_{t}=\prod _{p}^{}\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)+\left({{p} \over {p-1}}\right)$

$C_{S}=\prod _{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {(p-1)}}\right)+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left(C_{A}+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left(C_{A}+C_{t}-\left({{p} \over {p-1}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {p-1}}\right)+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)+\left({{p} \over {p-1}}\right)-\left({{p} \over {p-1}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)+\left({{p} \over {p-1}}\right)-\left({{1} \over {p-1}}\right)-\left({{p} \over {p-1}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)+1-{{p} \over {p-1}}\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)+\left({{p-1-p} \over {p-1}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {p-1}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$C_{S}=$스티븐스 상수

$C_{A}=$알틴 상수

$C_{t}=$ 토션트 상수

같이 보기

• 스티븐스 상수
• 란다우 토션트 상수
• 오일러 피 함수

참고

• OEIS
• OEIS
• OEIS
• 매스월드(https://web.archive.org/web/20180315070642/http://mathworld.wolfram.com/TotientSummatoryFunction.html)