특성 단순군

군론에서, 특성 단순군(特性單純群, 영어: characteristically simple group)은 특성 부분군이 자명 부분군과 자기 자신밖에 없는 군이다.

정의

군 $G$가 $\{1_{G}\}$와 $G$가 아닌 특성 부분군을 갖지 않는다면, $G$를 특성 단순군이라고 한다.

성질

유한군 $G$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $G$는 특성 단순군이다.
• $G$는 유한 개의 같은 단순군 $N$의 직접곱 $N^{\times n}$과 동형이다.

증명:

우선, $G$가 유한 특성 단순군이라고 하고, $G$가 유한 개의 같은 단순군의 직접곱임을 보이자. 편의상 $G\neq \{1_{G}\}$이라고 하자. $G$의 임의의 극소 정규 부분군 $N$을 취하자. 그렇다면, 임의의 $\phi \in \operatorname {Aut} (G)$에 대하여, $\phi (N)$ 역시 극소 정규 부분군이다. 이제 $M$이

$\{\phi _{1}(N)\times \cdots \times \phi _{k}(N)\leq G\colon \phi _{i}\in \operatorname {Aut} (G),\;\forall i\in \{1,\dots ,k\}\colon \phi _{i}(N)\cap \phi _{1}(N)\cdots \phi _{i-1}(N)\phi _{i+1}(N)\cdots \phi _{k}(N)=\{1_{G}\}\}$

의 한 극대 원소라고 하자. 그렇다면, $M\vartriangleleft G$이며, 임의의 $\phi \in \operatorname {Aut} (G)$에 대하여, $\phi (N)\cap M\vartriangleleft G$이다. 따라서 $\phi (N)\cap M=\{1_{G}\}$이거나 $\phi (N)\cap M=\phi (N)$이며, $M$의 극대성에 의하여 $\phi (N)\cap M=\phi (N)$이다. 즉,

$M=\prod _{\phi (N)}\phi (N)$

이며, $M$은 $G$의 특성 부분군이다. $G$는 특성 단순군이므로 $G=M$이다. 또한, 임의의 $H\vartriangleleft N$에 대하여, $H\vartriangleleft G$이므로, $N$의 극소성에 의하여 $H=\{1_{G}\}$이거나 $H=N$이다. 즉, $N$은 단순군이며,

$G=\prod _{\phi (N)}\phi (N)\cong \prod _{\phi (N)}N$

이다.

반대로, 임의의 단순군 $N$ 및 음이 아닌 정수 $n$에 대하여, $N^{\times n}$이 특성 단순군임을 보이자. 만약 $N$이 아벨 군이라면, $|N|$은 소수이며, $N$에 체의 구조를 부여할 수 있고, $N^{\times n}$을 이 체에 대한 $n$차원 벡터 공간으로 생각할 수 있다. 이 경우 $N^{\times n}$의 군으로서의 자기 동형 사상은 전단사 선형 변환과 동치이며, 특성 부분군은 모든 전단사 선형 변환에 대하여 불변인 부분 벡터 공간과 동치이다. 이러한 부분 공간은 영공간과 자기 자신뿐이므로, $N^{\times n}$은 특성 단순군이다.

만약 $N$이 아벨 군이 아니라면, $n$개의 자연스러운 단사 군 준동형

$\imath _{i}\colon N\hookrightarrow N^{\times n}\qquad (i\in \{1,\dots ,n\})$

의 상을 $\imath _{i}(N)=N_{i}$로 표기하자. 그렇다면 $N^{\times n}$은 다음과 같은 내직접곱과 같다.

$N^{\times n}=N_{1}\times \cdots \times N_{n}$

우선 임의의 $H\vartriangleleft N^{\times n}$를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다는 사실을 보이자.

$H=N_{i_{1}}\times \cdots \times N_{i_{k}}\qquad (1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n)$

이는 임의의 $g\in H$ 및 $g_{i}\in N_{i}$ 및 $j\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여, 만약 $g=g_{1}\cdots g_{n}$이며, $g_{j}\neq 1_{N^{\times n}}$일 경우, $N_{j}\subseteq H$임을 보이는 것으로 족하다. $N_{j}$는 비아벨 단순군이므로 $\operatorname {Z} (N_{j})=\{1_{N^{\times n}}\}$이며, 특히 $g_{j}\not \in \operatorname {Z} (N_{j})$이다. 따라서,

$1_{N^{\times n}}\neq g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1}=ghg^{-1}h^{-1}\in H$

인 $h\in N_{j}$가 존재하며,

$N_{j}=\langle \operatorname {Cl} (g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1})\rangle \subseteq H$

이다. (여기서 $\langle \operatorname {Cl} (g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1})\rangle$는 $g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1}$의 켤레류로 생성된 부분군을 뜻한다.)

이제 $H$가 $N^{\times n}$의 자명하지 않은 특성 부분군이라고 가정하자. 편의상

$H=N_{1}\times \cdots \times N_{k}\qquad (1\leq k<n)$

이라고 하자. 다음과 같은 $N^{\times n}$의 자기 동형 사상을 생각하자.

$\phi \colon N^{\times n}\to N^{\times n}$

$\phi \colon (g_{1},g_{2},\dots ,g_{n})\mapsto (g_{n},g_{1},\dots ,g_{n-1})\qquad (g_{i}\in N)$

그렇다면

$\phi (H)=N_{2}\times \cdots \times N_{k+1}\neq H$

이며, 이는 모순이다. 즉, $N^{\times n}$은 자명하지 않은 특성 부분군을 갖지 않는다.

예

유한 개의 소수 $p$ 크기의 군의 직접곱은 특성 단순군이다.

임의의 군의 극소 정규 부분군은 특성 단순군이다.

외부 링크

• “Characteristically simple group”. 《Groupprops》 (영어).