평행 운송

미분기하학에서, 평행 운송(平行運送, 영어: parallel transport)은 올다발 속의 에레스만 접속을 사용하여 정의되는, 곡선의 양 끝점의 올 사이의 함수이다.

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
실수 폐구간 $[a,b]\subsetneq \mathbb {R}$
조각마다 매끄러운 연속 곡선 $\gamma \colon [a,b]\to M$
매끄러운 올다발 $E\twoheadrightarrow M$
$E$ 의 에레스만 접속 (수평 다발) $H\subseteq \mathrm {T} E$

그렇다면, $\gamma$ 의 $E$ 로의 올림은 다음 그림이 가환하게 되는 곡선

{\tilde {\gamma }}\colon I\to E

이다.

{\begin{matrix}&&I\\&{\scriptstyle {\tilde {\gamma }}}\swarrow &\downarrow \scriptstyle \gamma \\E&{\xrightarrow[{\pi }]{}}&M\end{matrix}}

$E$ 위에 에레스만 접속 $H$ 가 주어졌다고 하자. 만약 ${\tilde {\gamma }}$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $H$ 에 대하여 수평 올림(水平-, 영어: horizontal lift)이라고 한다.

{\frac {\mathrm {d} {\tilde {\gamma }}}{\mathrm {d} t}}\in H_{{\tilde {\gamma }}(t)}\qquad \forall t\in I

즉, 올림의 접벡터가 항상 수평이어야 한다 (수평 다발 $H$ 에 속해야 한다).

주어진 에레스만 접속 $H$ 및 초기 조건 ${\tilde {\gamma }}(a)\in E_{\gamma (a)}$ 에 대하여, 모든 곡선은 $t_{0}$ 의 근방에서 유일한 수평 올림을 갖는다. (그러나 일반적으로 곡선의 대역적 수평 올림은 존재하지 않을 수 있다.) 즉, 이는 함수