이론물리학 에서 프로인드-루빈 콤팩트화 (Freund-Rubin compact化, 영어 : Freund–Rubin compactification )는 미분 형식 전기역학 을 물질로 갖는 일반 상대성 이론 의 시공간이 자연스럽게 갖는, 초구 와 반 더 시터르 공간 의 곱공간 의 꼴의 해이다.
D
{\displaystyle D}
차원 시공간 위에, 일반 상대성 이론 과
p
{\displaystyle p}
차 형식 게이지 장 이 존재한다고 하자. 즉, 장 방정식은 다음과 같다.
R
μ
ν
−
1
2
R
g
μ
ν
=
8
π
G
T
μ
ν
{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=8\pi GT_{\mu \nu }}
∇
μ
1
F
μ
1
μ
2
⋯
μ
p
=
0
{\displaystyle \nabla _{\mu _{1}}F^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{p}}=0}
T
μ
p
ν
p
=
F
μ
1
μ
2
⋯
μ
p
F
ν
1
ν
2
⋯
ν
p
−
1
2
p
F
ρ
1
ρ
1
⋯
ρ
p
F
σ
1
σ
2
⋯
σ
p
δ
μ
p
ν
p
{\displaystyle T_{\mu _{p}}{}^{\nu _{p}}=F_{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{p}}F^{\nu _{1}\nu _{2}\cdots \nu _{p}}-{\frac {1}{2p}}F_{\rho _{1}\rho _{1}\cdots \rho _{p}}F^{\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p}}\delta _{\mu _{p}}^{\nu _{p}}}
이 경우, 공간
S
p
×
AdS
D
−
p
{\displaystyle \mathbb {S} ^{p}\times \operatorname {AdS} _{D-p}}
위에 다음과 같은 장론의 해를 정의할 수 있다. (여기서
S
p
{\displaystyle \mathbb {S} ^{p}}
는
p
{\displaystyle p}
차원 초구 이며,
AdS
D
−
p
{\displaystyle \operatorname {AdS} _{D-p}}
는
D
−
p
{\displaystyle D-p}
차원 반 더 시터르 공간 이다.)
R
D
−
p
=
−
8
π
G
(
s
−
1
)
(
d
−
s
)
(
d
−
2
)
{\displaystyle R_{D-p}=-8\pi G{\frac {(s-1)(d-s)}{(d-2)}}}
R
p
=
8
π
G
(
d
−
s
−
1
)
(
d
−
2
)
{\displaystyle R_{p}=8\pi G{\frac {(d-s-1)}{(d-2)}}}
F
μ
1
μ
2
⋯
μ
p
∝
ϵ
S
p
μ
1
μ
2
⋯
μ
s
{\displaystyle F^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{p}}\propto \epsilon _{\mathbb {S} ^{p}}^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{s}}}
여기서
ϵ
S
p
μ
1
μ
2
⋯
μ
s
{\displaystyle \epsilon _{\mathbb {S} ^{p}}^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{s}}}
는 초구
S
p
{\displaystyle \mathbb {S} ^{p}}
의 레비치비타 기호 이며,
R
p
{\displaystyle R_{p}}
는 초구
S
p
{\displaystyle \mathbb {S} ^{p}}
의 스칼라 곡률 ,
R
D
−
p
{\displaystyle R_{D-p}}
는
AdS
D
−
p
{\displaystyle \operatorname {AdS} _{D-p}}
의 스칼라 곡률 이다. 이를 프로인드-루빈 콤팩트화 라고 한다.
S-이중성 에 의하여,
p
{\displaystyle p}
차 장세기를
D
−
p
{\displaystyle D-p}
차 장세기
F
~
=
∗
F
{\displaystyle {\tilde {F}}=*F}
로 쌍대화할 수 있으며, 이에 대한 프로인드-루빈 콤팩트화는 반대로
S
D
−
p
×
AdS
p
{\displaystyle \mathbb {S} ^{D-p}\times \operatorname {AdS} _{p}}
가 된다.
11차원 초중력 은 3차 형식 퍼텐셜
A
μ
ν
ρ
{\displaystyle A_{\mu \nu \rho }}
(즉, 4차 형식 장세기
F
μ
ν
ρ
σ
{\displaystyle F_{\mu \nu \rho \sigma }}
)을 가지며, 따라서 이 이론은 자연스럽게
S
4
×
AdS
7
{\displaystyle \mathbb {S} ^{4}\times \operatorname {AdS} _{7}}
또는
S
7
×
AdS
4
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}\times \operatorname {AdS} _{4}}
로 콤팩트화된다.
마찬가지로, 10차원 IIB 초중력은 자연스럽게
S
5
×
AdS
5
{\displaystyle \mathbb {S} ^{5}\times \operatorname {AdS} _{5}}
로 콤팩트화된다.
이 세 콤팩트화들은 AdS/CFT 대응성 에 핵심적으로 등장하며, 각각 M5-막 · M2-막 · D3-막 에 대응한다.
루마니아 태생의 물리학자 피터 조지 올리버 프로인드(영어 : Peter George Oliver Freund , 루마니아어 : Peter George Oliver Freund 페테르 제오르제 올리베르 프레운드[* ] , 1936~)와 미국의 마크 루빈(영어 : Mark A. Rubin )이 1980년에 도입하였다.[1]