피타고라스 체
체론에서, 피타고라스 체(Πυθαγόρας體, 영어: Pythagorean field)는 제곱수들의 합이 제곱수인 체이다.
정의[편집]
체 의 원소 가운데 일부는 유한 개의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있고, 일부는 유한 개의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없다. 를 제곱수들의 합으로 나타낼 때 필요한 최소 개의 제곱수의 수를 라고 쓰자.
체 의 피타고라스 수(Πυθαγόρας數, 영어: Pythagorean number) 는 의 원소에 대하여, 위 함수의 최댓값이다.
즉, 피타고라스 수가 유한한 체 에서, 모든 제곱수의 합은 개 이하의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다.
피타고라스 수가 1인 체를 피타고라스 체(Πυθαγόρας體, 영어: Pythagorean field)라고 한다. 즉, 피타고라스 체는 제곱수들의 집합이 덧셈에 대하여 모노이드를 이루는 체이다. 즉, 다음 조건이 성립하면 를 피타고라스 체라고 한다.
기하학적으로, 이는 피타고라스의 정리와 유사하다. 즉, 만약 라면, 직각 삼각형에서 사이에 직각이 있는 두 변의 길이가 에 속한다면, 나머지 변도 에 속해야 한다.
체 의 대수적 폐포 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 속에, 를 포함하는 최소의 피타고라스 체 가 존재한다. 이를 의 피타고라스 폐포(Πυθαγόρας閉包, 영어: Pythagorean closure)라고 한다.
성질[편집]
임의의 체 에 대하여, 피타고라스 수와 수준 사이에 다음과 같은 부등식이 성립한다.[1]:261
모든 양의 정수 에 대하여, 피타고라스 수가 인 형식적 실체가 존재한다.[2]:398
형식적 실체가 아닌 체의 경우, 피타고라스 수는 다음 세 가지 가운데 하나이다.[2]:396
예[편집]
피타고라스 수의 예는 다음과 같다.
체 | 피타고라스 수 |
---|---|
대수적으로 닫힌 체 | 1 |
유한체 | 2 |
유리수체 | 4 (라그랑주 네 제곱수 정리) |
참고 문헌[편집]
- ↑ Rajwade, A. R. (1993). 《Squares》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
- ↑ 가 나 Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
외부 링크[편집]
- “Pythagorean field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Pythagorean field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Pythagorean extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.