1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{k}}}={\frac {1}{3}}=0.33333....$	${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{256}}+{\frac {1}{1024}}+{\frac {1}{4096}}+{\frac {1}{16384}}+{\frac {1}{65536}}+{\frac {1}{262144}}+{\frac {1}{1048576}}+{\frac {1}{4194304}}+{...}$
∑k=1 to ∞ (1/4^k)

증명

다른 급수와 마찬가지로 무한합

은 최초의 n항의 합

$Sn={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{256}}+{\frac {1}{1024}}+{\frac {1}{4096}}+{\frac {1}{16384}}+{\frac {1}{65536}}+{\frac {1}{262144}}+{\frac {1}{1048576}}+{\frac {1}{4194304}}+{...}$

이 수열은 ${\frac {1}{3}}$ 을 수렴하게 된다.