KR이론

수학에서, KR이론(KR理論, 영어: KR-theory)은 대합을 갖춘 위상 공간 위의 안정 벡터 다발을 분류하는, 위상 K이론의 일종이다.

정의

대합 공간(영어: space with involution, Real space) $(X,\tau )$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$
• 대합인 연속 자기 함수 $\tau \colon X\to X$, $\tau \circ \tau =\operatorname {id} _{X}$

대합 공간 $(X,\tau )$ 위의 대합 벡터 다발(영어: vector bundle with involution, Real vector bundle)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 복소수 벡터 다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow X$
• $E$ 위의 연속 대합 $\tau _{E}\colon E\to E$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• 영단면을 $0_{E}\colon X\to E$라고 하면, $\pi \circ \tau _{E}\circ 0_{E}=\tau$이다.

  ${\begin{matrix}E&{\overset {\tau _{E}}{\to }}&E\\{\scriptstyle \!\!\!\!0_{E}}\uparrow {\scriptstyle \color {White}0_{E}\!\!\!\!}&&{\scriptstyle \color {White}\!\!\!\!\pi }\downarrow {\scriptstyle \pi \!\!\!\!}\\X&{\underset {\tau }{\to }}&X\end{matrix}}$

• $\tau _{E}\colon E\to E$는 ($\tau \colon X\to X$ 위의) 실수 벡터 다발의 동형 사상이며, 임의의 $x\in E$에 대하여 $(\tau _{E}\upharpoonright E_{x})\colon E_{x}\to E_{\tau (x)}$는 복소수 벡터 공간의 반선형 변환이다. 즉, $v\in E_{x}$ 및 $\lambda \in \mathbb {C}$에 대하여 $\tau _{E}(\lambda v)={\bar {\lambda }}\tau _{E}(v)$이다.

대합 공간 위의 대합 벡터 다발들의 직합을 취할 수 있으며, 이에 따라서 주어진 대합 공간 위의 대합 벡터 다발의 동형류는 가환 모노이드를 이룬다. 이 가환 모노이드의 그로텐디크 구성을 대합 공간의 KR군이라고 한다.

성질

다른 K이론과의 관계

복소수 벡터 다발의 위상 K군 $\operatorname {KU} ^{0}(-)$과 실수 벡터 다발의 위상 K군 $\operatorname {KO} ^{0}(-)$은 KR군의 특별한 경우로 주어진다.

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위에 항등 함수인 대합 $\operatorname {id} _{X}$을 부여하자. 그렇다면, 이 대합 공간 위의 대합 벡터 다발 $(E,\tau _{E})$이 주어졌을 때, 항상 실수 벡터 다발

$E_{\mathbb {R} }=\{v\in E\colon \tau _{E}(v)=v\}$

$E\cong E_{\mathbb {R} }\otimes \mathbb {C}$

을 정의할 수 있으며, 따라서 그 위의 대합 벡터 다발(의 동형류)은 $X$ 위의 실수 벡터 다발(의 동형류)과 동치이다. 따라서, 이 경우 KR군은 KO군과 같다.

$\operatorname {KR} ^{0}(X,\operatorname {id} _{X})=\operatorname {KO} ^{0}(X)$

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$가 주어졌을 때, $X\times \{\pm 1\}$ 위에 대합

$(x,\pm 1)\mapsto (x,\mp 1)$

을 부여하자. 그렇다면, $X\times \{\pm 1\}$ 위의 대합 벡터 다발은 $X$ 위의 복소수 벡터 다발과 동치이다. 따라서, 이 경우 $X\times \{\pm 1\}$의 KR군은 $X$의 KU군과 같다.

$\operatorname {KR} ^{0}(X\times \{\pm 1\},(x,\pm 1)\mapsto (x,\mp 1))=\operatorname {KU} ^{0}(X)$

보트 주기성

일반 위상 K이론과 마찬가지로, 축소 KR군(영어: reduced KR-group) $\operatorname {\widetilde {KR}} ^{0,0}(X)$을 정의할 수 있다.

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{m+n}$ 위에 대합

$(x,y)\mapsto (x,-y)\qquad (x\in \mathbb {R} ^{m},\;y\in \mathbb {R} ^{n})$

을 부여한 것을 $\mathbb {R} ^{m,n}$으로 표기하자. 그 속의 $m+n-1$차원 공 및 초구를 다음과 같이 표기하자.

$\mathbb {D} ^{m,n}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{m,n}\colon \|x\|^{2}+\|y\|^{2}\leq 1\}\cong \mathbb {D} ^{m+n}$

$\mathbb {S} ^{m,n}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{m,n}\colon \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=1\}\cong \mathbb {S} ^{m+n-1}$

그렇다면, 다음과 같이 두 개의 등급을 갖는 (축소) KR군들을 정의할 수 있다.

$\operatorname {KR} ^{m,n}(X)=\operatorname {KR} ^{0,0}(X\times \mathbb {D} ^{m,n})$

$\operatorname {\widetilde {KR}} ^{m,n}(X)=\operatorname {\widetilde {KR}} ^{0,0}(X\wedge \mathbb {D} ^{m,n})$

(여기서 $\wedge$는 분쇄곱이다.) 그렇다면, 다음과 같은 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이 성립한다.

$\operatorname {KR} ^{m,n}(X)\cong \operatorname {KR} ^{m+1,n+1}(X)\cong \operatorname {KR} ^{m+8,n}(X)$

즉, KR군은 오직 $(m-n){\bmod {8}}$에만 의존한다. 보통

$\operatorname {\widetilde {KR}} ^{m,n}(X)=\operatorname {\widetilde {KR}} ^{n-m}(X)$

으로 표기한다. 특히, $\mathbb {S} ^{m,n}$은 ‘$m-n-1$차원 초구’로 해석되며, 이를 통하여 음의 차원의 초구를 생각할 수 있다.

실수 · 복소수 K이론의 보트 주기성은 KR이론의 보트 주기성의 특수한 경우이다.

응용

끈 이론에서, 오리엔티폴드가 주어진 시공간은 대합 공간을 이루며, 그 위의 D-막들은 KR군에 의하여 분류된다.^:§6

역사

1966년에 마이클 아티야가 도입하였다. 이름 ‘KR’에서, ‘K’는 원래 K이론에서 딴 것이다. (이는 독일어: Klasse 클라세^[*]의 첫 글자이다.) ‘R’는 영어: real 리얼^[*]의 첫 글자이다.

외부 링크

• “KR cohomology theory”. 《nLab》 (영어).