n-연결 공간

위상수학에서 n-연결 공간(n-connected space)은 경로 연결 공간 · 단일 연결 공간 등을 일반화한 개념이다.

정의

위상 공간 $X$의 호모토피 군 $\pi _{i}(X)$가 다음과 같은 성질을 만족할 경우 $X$를 n-연결이라고 부른다.

$\pi _{i}(X)\simeq 0,\quad 0\leq i\leq n$

다시 말해, $i=0$인 경우에는 호모토피 군이 한 원소 집합이고, $1\leq i\leq n$인 경우에는 호모토피 군이 자명하다($\pi _{i}(X)\cong 0$)는 것이다.

만약 모든 $i\geq 0$에 대해서 $\pi _{i}(X)\simeq 0$일 경우 $X$를 $\infty$-연결이라고 부른다.

문헌에 따라서는 $X$가 비어있지 않을 것을 조건으로 추가하고, $X$가 비어있지 않은 상태를 (-1)-연결로 정의하기도 한다.

성질

$X$가 비어있지 않을 경우, 정의에 따라 다음이 성립한다.

• $X$가 0-연결인 것은 $X$가 경로 연결인 것과 동치이다.
• $X$가 1-연결인 것은 $X$가 단일 연결인 것과 동치이다.

후레비치 정리에 따르면 $n\geq 1$일 경우 $n$-연결 공간 $X$에 대해 다음 식이 성립한다.

$\pi _{k}(X)\cong \operatorname {H} _{k}(X;\mathbb {Z} ),\quad k>n$

예

• 구 $\mathbb {S} ^{n}$은 $(n-1)$-연결 공간이다.
• $\mathbb {R} ^{n}$은 축약 가능 공간이므로 $\infty$-연결이다.