수학 기호

수학 기호(數學記號, 영어: mathematical symbol)는 수학에서 쓰는 기호로서, 수, 계산, 논리 등 수학의 개념을 간결하게 표현하기 위해 사용한다. 흔히 사용하는 기호로 사칙연산의 + (더하기표), − (빼기표), × (곱하기표), ÷ (나누기표) 등이 있다. 또한 많은 수학 기호의 이름은 유명한 수학자들의 업적을 기리기 위해 그들의 이름을 차용하여 짓기도 한다.

아래는 수학 기호의 목록이다.

기초 연산 기호

기호	의미	설명	예시
$+$	더하기	$X+Y$는 수 $X$와 수 $Y$를 더한 값을 의미한다.	$1+1=2$
$-$	빼기	$X-Y$는 수 $X$에서 수 $Y$를 뺀 값을 의미한다.	$9-7=2$
	음의 부호	$-X$는 수 $X$의 반수를 의미한다.	$5+(-5)=0$
$\pm$	플러스마이너스	$X\pm Y$는 수 $X,Y$에 대해 $X+Y$와 $X-Y$를 모두 의미한다.	$x^{2}=1$의 근은 $x=\pm 1$이다.
	측정에서의 범위	$X\pm Y$는 수 $X,Y$에 대해 $X-Y$부터 $X+Y$까지의 범위를 의미한다.	$a=100\pm 1$ mm는 $99$mm$\leq a\leq 101$mm를 의미한다.
$\times$ $\cdot$	곱하기	$X\times Y$ 또는 $X\cdot Y$는 수 $X$와 수 $Y$를 곱한 값을 의미한다. 기호를 생략해 $XY$로 쓰기도 한다.	$7\times 8=56$ $5\cdot 7=35$
$/$ $\div$	나누기	$X/Y$ 또는 $X\div Y$는 수 $X$를 0이 아닌 수 $Y$로 나눈 값을 의미한다.	$12/4=3$ $2\div 4=0.5$
${\frac {\Box }{\Box }}$	분수	${\frac {X}{Y}}$는 수 $X$를 0이 아닌 수 $Y$로 나눈 값을 의미한다.	${\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$
$\Box .\Box$	소수	$r_{0}.r_{1}r_{2}...$는 소수로 나타낸 실수를 의미한다.	$0.5={\frac {1}{2}}$ $0.3333...={\frac {1}{3}}$
${\bar {\Box }}$ ${\dot {\Box }}$	순환소수	소수점 아래 반복되는 마디 위에 선을 긋거나 마디 양끝 위에 점을 찍어 순환소수를 표현한다.	$0.333\cdots =0.{\overline {3}}=0.{\dot {3}}$ $2.4123123123\cdots =2.4{\overline {123}}=2.4{\dot {1}}2{\dot {3}}$
$\surd$ ${\sqrt {\ }}$	제곱근	${\sqrt {x}}$는 양수 $x$의 제곱근을 의미한다.	${\sqrt {9}}=3$
	거듭제곱근	${\sqrt[{n}]{x}}$는 수 $x$의 $n$제곱근을 의미한다.	${\sqrt[{4}]{16}}=2$
^ $\Box ^{\Box }$	거듭제곱	$x$^$y$ 또는 $x^{y}$는 수 $x$의 $y$ 거듭제곱을 의미한다. $y=2$인 경우 $x$의 제곱을 의미한다.	$3^{2}=9$ $2$^$3=8$
$|\Box |$	절댓값	$|x|$는 수 $x$의 절댓값을 의미한다.	$|-3|=3$
$\sum$	유한합	$\sum _{k=1}^{n}{a_{k}}$는 수 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$의 유한합을 의미한다.	$\sum _{k=1}^{4}{k^{2}}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=30$

집합론 기호

기호	의미	설명	예시
$\emptyset$ $\varnothing$ $\{\}$	공집합	원소가 없는 공집합을 의미한다.	$\{1\}\cap \{2,3\}=\varnothing$
$\{\Box \}$	한원소 집합	$\{x\}$는 $x$ 하나만을 원소로 갖는 집합을 의미한다.
$\{\Box ,\cdots ,\Box \}$	원소나열법으로 표현한 집합	중괄호 안에 원소를 나열하고 쉼표로 구분하여 집합을 표현한다.	$\{1,2,3\}$
$\{\Box :\Box \}$ $\{\Box |\Box \}$	조건제시법으로 표현한 집합	$\{x:P(x)\}$ 또는 $\{x|P(x)\}$는 $x$에 대한 술어 $P(x)$에 대하여, $P(x)$가 참이 되도록 하는 원소 $x$들로 이루어진 집합을 의미한다.	$\{x:1\leq x\leq 3,x\in \mathbb {N} \}=\{1,2,3\}$
$\in$ $\ni$	포함관계	$x\in X$ 또는 $X\ni x$는 원소 $x$가 집합 $X$에 속함을 의미한다.	$1\in \{1,2,3\}$
$\notin$ $\not \ni$	미포함관계	$x\notin X$ 또는 $X\not \ni x$는 원소 $x$가 집합 $X$에 속하지 않음을 의미한다.	$4\notin \{1,2,3\}$
$\subseteq$ $\subset$ $\supseteq$ $\supset$	부분집합	$A\subseteq B$, $A\subset B$, $B\supseteq A$, $B\supset A$는 집합 $A$가 집합 $B$의 부분집합임을 의미한다.	$\{1,2\}\subseteq \{1,2,3\}$ $\varnothing \subseteq \{1,2,3\}$
$\subsetneq$ $\supsetneq$	진부분집합	$A\subsetneq B$, $B\supsetneq A$는 집합 $A$가 집합 $B$의 진부분집합임을 의미한다. 저자에 따라 $\subset$, $\supset$이 진부분집합을 의미하기도 한다.	$\{1,2\}\subsetneq \{1,2,3\}$
$\nsubseteq$ $\varsubsetneq$ $\nsupseteq$ $\varsupsetneq$	부분집합이 아님	$A\nsubseteq B$, $A\varsubsetneq B$, $B\nsupseteq A$, $B\varsupsetneq A$는 집합 $A$가 집합 $B$의 부분집합이 아님을 의미한다.	$\{1,2\}\nsubseteq \{2,3\}$
$\cup$ $\bigcup$	합집합	$A\cup B$는 집합 $A$에 속하거나 집합 $B$에 속하는 원소들의 집합을 의미한다. $\bigcup _{i\in I}A_{i}$는 어떤 $i\in I$에 대해 집합 $A_{i}$에 속하는 원소들의 집합을 의미한다. $\bigcup {\mathcal {M}}$은 집합족 ${\mathcal {M}}=\{M_{i}:i\in I\}$에 대해 $\bigcup {\mathcal {M}}=\bigcup _{i\in I}M_{i}$이다.	$\{1,2\}\cup \{3\}=\{1,2,3\}$
$\cap$ $\bigcap$	교집합	$A\cap B$는 집합 $A$와 집합 $B$에 동시에 속하는 원소들의 집합을 의미한다. $\bigcap _{i\in I}A_{i}$는 모든 $i\in I$에 대해 집합 $A_{i}$에 동시에 속하는 원소들의 집합을 의미한다. $\bigcap {\mathcal {M}}$은 집합족 ${\mathcal {M}}=\{M_{i}:i\in I\}$에 대해 $\bigcap {\mathcal {M}}=\bigcap _{i\in I}M_{i}$이다.	$\{1,2\}\cap \{2,3\}=\{2\}$
$\sqcup$ $\bigsqcup$ $+$ $\uplus$ $\biguplus$	분리합집합	$A\sqcup B$, $A+B$, $A\uplus B$는 집합 $A$와 $B$의 분리합집합을 의미한다. $\bigsqcup _{i\in I}A_{i}$, $\biguplus _{i\in I}A_{i}$는 주어진 집합족 $\{A_{i}:i\in I\}$에 대해 $\bigcup _{i\in I}{(A_{i}\times \{i\})}$을 의미한다.	$A=\{a,b\}$, $B=\{b,c,d\}$에 대해 $A\sqcup B=\{(a,0),(b,0),(b,1),(c,1),(d,1)\}$
$\Box ^{c}$ $\setminus$	여집합	$A^{c}$ 또는 $U\setminus A$는 전체집합 $U$의 원소 중 $A$가 아닌 것들의 집합을 의미한다. ${\overline {A}},A',\complement _{U}A,\complement A$로 쓰기도 한다.	$(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$
$-$ $\setminus$	차집합	$A-B$ 또는 $A\setminus B$는 집합 $A$의 원소 중 집합 $B$에 있지 않은 원소들로 이루어진 집합을 의미한다.	$\{1,2,3\}-\{3,4\}=\{1,2\}$
$\times$ $\prod$	곱집합	$A\times B$는 집합 $A$와 $B$의 곱집합 $\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$을 의미한다. $\prod _{i\in I}A_{i}$는 주어진 집합족 $\{A_{i}:i\in I\}$에 대해 $\{(a_{i})_{i\in I}|a_{i}\in A_{i}\}$을 의미한다.	$\{1,2\}\times \{3,4,5\}=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}$ $\mathbb {R} ^{n}=\{(x_{1},\cdots ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} ,i=1,\cdots ,n\}$
$\to$	함수 표기법	$f:X\to Y$는 함수 $f$가 집합 $X$에서 집합 $Y$로 사상함을 의미한다.	$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$은 정의역과 공역이 실수인 함수이다.
$\mapsto$	함수 표기법	$f:x\mapsto y$ 또는 $f(x)=y$는 함수 $f$가 정의역의 원소 $x$를 공역의 원소 $y$에 대응시킨다는 것을 의미한다.	$f:x\mapsto x^{2}$은 $f(x)=x^{2}$와 같은 의미이다.
$\circ$	함수의 합성	$g\circ f$는 함수 $f$와 $g$의 합성 $g\circ f:x\mapsto g(f(x))$를 의미한다.	함수 $f(x)=x^{2},g(x)=x+1$에 대해, $(g\circ f)(x)=x^{2}+1$
$|$	함수의 제한	$f|_{S}$는 함수 $f$의 정의역의 부분집합 $S$로의 제한을 의미한다.
$\Box ^{-1}$	역함수	$f^{-1}$은 함수 $f$의 역함수를 의미한다.	함수 $f:x\mapsto x+1$에 대해, $f^{-1}:x\mapsto x-1$
${\mathcal {P}}(\Box )$ $2^{\Box }$	멱집합	${\mathcal {P}}(X)$ 또는 $2^{X}$는 집합 $X$의 부분집합 전체의 집합을 의미한다. $P(X),\mathbb {P} (X),\wp (X)$로도 쓴다.	${\mathcal {P}}(\{x,y\})=\{\varnothing ,\{x\},\{y\},\{x,y\}\}$
$\Box ^{\Box }$	함수 전체집합	$Y^{X}$는 집합 $X$에서 집합 $Y$로 사상하는 함수 전체의 집합을 의미한다.
$|\Box |$ $\operatorname {card}$	집합의 크기	$|X|$ 또는 $\operatorname {card} (X)$는 집합 $X$의 크기를 의미한다. $n(X),\#X$, $X$로도 쓴다.	$|\{2,4,6\}|=3$ $|\mathbb {N} |=\aleph _{0}$

• $sup(),\sup S$ 또는 $\textstyle \bigvee S$ 상한
• $inf(),\inf S$ 또는 $\textstyle \bigwedge S$ 하한
• $max(),min()$ 최대 원소, 최소 원소
• $\sim$ 전단사함수
• $\aleph$ 알레프 수
• $\beth$ 베트 수

논리 및 관계 기호

논리 기호

기호	의미	설명	예시
$\Leftrightarrow$ $\leftrightarrow$ $\equiv$	동치	$A\Leftrightarrow B,A\leftrightarrow B,A\equiv B$는 명제 $A$가 참이면 명제 $B$도 참이고, $A$가 거짓이면 $B$도 거짓임을 의미한다.	$x=y\Leftrightarrow x+1=y+1$
$\neg$ $-$ ${\mathord {\sim }}$ ${\overline {\Box }}$ $!$	논리적 부정	명제 $P$에 대해 $\neg P$, $-P$, ${\mathord {\sim }}P$, ${\overline {P}}$, $!P$는 모두 $P$의 부정을 의미한다.	$\neg (\neg P)\Leftrightarrow P$ $\neg (x=y)\Leftrightarrow x\neq y$
$\lor$	논리합	$A\lor B$는 명제 $A,B$ 둘 중 하나 이상이 참일 때 참, 둘 다 거짓일 때 거짓인 명제를 의미한다.	$(x>0)\lor (x<0)\Leftrightarrow x\neq 0$
$\land$	논리곱	$A\land B$는 명제 $A,B$가 모두 참일 때 참, 둘 중 하나 이상이 거짓일 때 거짓인 명제를 의미한다.	$(x>0)\land (x<1)\Leftrightarrow 0<x<1$
$\rightarrow$ $\Rightarrow$ $\leftarrow$ $\Leftarrow$	실질적 함의	$P\rightarrow Q$, $P\Rightarrow Q$, $Q\leftarrow P$, $Q\Leftarrow P$는 술어 $P$가 참일 때 술어 $Q$도 참임을 의미한다. 즉 $Q\lor \neg P$와 논리적으로 같다.	$n\in \mathbb {N} \rightarrow n\in \mathbb {Z}$
$\forall$	보편 양화사	$\forall xP(x)$는 술어 $P(x)$가 모든(임의의) 변수 $x$에 대해 참임을 의미한다.	$\forall n\in \mathbb {N} (n^{2}\geq n)$
$\exists$	존재 양화사	$\exists xP(x)$는 술어 $P(x)$가 참이 되도록 하는 (어떤)변수 $x$가 존재함을 의미한다.	$\exists n\in \mathbb {N} (n^{2}=n)$
$\exists !$	유일 한정자	$\exists !xP(x)$는 술어 $P(x)$가 참이 되도록 하는 (어떤)변수 $x$가 유일하게 존재함을 의미한다.	$\exists !n\in \mathbb {N} (n^{2}=1)$

• $\!\,\bowtie$관계대수
• ${}^{\mathsf {T}}$ 항진, 언제나 참
• $\top$ 참
• $\bot$ 모순
• $\vDash$ 명제 논리
• $\vdash$명제 논리
• $\|$ 합, 불 논리
• $\&$ 곱, 불 논리

관계 기호

기호	이름	설명	예시
$=$	등호	$x=y$는 $x$와 $y$가 같은 수학적 대상을 나타냄을 의미한다.	$2=2$ $1+1=2$ $36-5=31$
$\neq$	부등호	$x\neq y$는 $x$와 $y$가 같은 수학적 대상을 나타내지 않음을 의미한다.	$2+2\neq 5$ $36-5\neq 30$
$\approx$	근삿값	$x\approx y$는 $x$가 $y$의 근삿값임을 의미한다. ≃, ≅, ~, ≒로도 쓸 수 있다.	$\pi \approx 3.14159$
$\cong$	동형	$X\cong Y$는 두 대수 구조 $X$와 $Y$가 동형임을 의미한다.	$Im(f)\cong G/ker(f)$
	합동	$F\sim F'$는 두 도형 $F$와 $F'$이 서로 합동임을 의미한다.	$\triangle ABC\cong \triangle DEF$
$\equiv$	항등식	등식이 변수의 값과 상관없이 항상 성립함을 의미한다.	$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta \equiv 1$
$\sim$	동치관계	$x\sim y$는 집합의 원소 $x$와 $y$가 동치 관계임을 의미한다.
	닮음	$F\sim F'$는 두 도형 $F$와 $F'$이 서로 닮음임을 의미한다.	$\Box ABCD\sim \Box EFGH$
$<$ $\prec$ $>$ $\succ$	부등호	$x<y$ 또는 $x\prec y$는 주어진 순서에서 $x$가 $y$보다 작다는 것을 의미한다. $x>y$ 또는 $x\succ y$는 주어진 순서에서 $x$가 $y$보다 크다는 것을 의미한다.	$3<4$ $5>4$
$\leq$ $\preceq$ $\geq$ $\succeq$	부등호	$x\leq y$ 또는 $x\preceq y$는 주어진 순서에서 $x$가 $y$ 이하임을, 즉 $y$보다 크지 않음을 의미한다. $x\geq y$ 또는 $x\succeq y$는 주어진 순서에서 $x$가 $y$ 이상임을, 즉 $y$보다 작지 않음을 의미한다.	$3\geq 4$ $5\leq 4$
$\ll$ $\gg$	부등호	$x<y$는 주어진 순서에서 $x$가 $y$보다 훨씬 작다는 것을 의미한다. $x>y$는 주어진 순서에서 $x$가 $y$보다 훨씬 크다는 것을 의미한다. 여기서 '훨씬'이라는 말은 명확하게 정의된 것이 아니라 서술하는 맥락에 따라 달라지는 의미이다.	$3\ll 10^{3}$
$\propto$ $\sim$	비례	$y\propto x$ 또는 $y\sim x$는 $y$가 $x$에 비례함을 의미한다.	$y=kx$일 때 $y\propto x$라 쓴다.
$:=$ $=:$ $\triangleq$ ${\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}$	정의 기호	$X:=E,E=:X,X\triangleq E,X{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}E$는 대상 $X$를 수식 $E$로 정의한다는 의미이다.	$X:=\{x\in \mathbb {R} |x>1\}$

수 기호

수 집합 기호

기호	의미	정의
$\mathbb {N}$	자연수 집합	$\mathbb {N} =\{1,2,3,\cdots \}$. 경우에 따라 0을 포함하기도 한다.
$\mathbb {Z}$	정수 집합	$\mathbb {Z} =\{\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$
$\mathbb {Z} _{p}$	p진 정수환 (p는 소수)	p진수 참고
$\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z}$의 $n\mathbb {Z}$에 대한 몫환	모듈러 산술 참고
$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	n을 법으로 하는 정수의 곱셈군	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }=\{a:gcd(a,n)=1,a\in \{0,1,\cdots ,n-1\}\}$
$\mathbb {Q}$	유리수 집합	$\mathbb {Q} =\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\}$
$\mathbb {Q} _{p}$	p진체	p진수 참고
$\mathbb {R}$	실수 집합	실수의 구성 참고
$\mathbb {C}$	복소수 집합	$\mathbb {C} =\{a+bi:a,b\in \mathbb {R} \}$. $i$는 허수 단위이다.
$\mathbb {H}$	사원수 집합	$\mathbb {H} =\{a+bi+cj+dk:a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$. $\{1,i,j,k\}$는 기저이다.
$\mathbb {O}$	팔원수 집합	팔원수 참고
$\mathbb {F} _{q}$ GF(q)	유한체 (q는 소수의 거듭제곱)	$\mathbb {F} _{q}$는 원소의 개수가 $q=p^{n}$개인 (p는 소수) 유한체

상수

 수학 상수 문서를 참고하십시오.

기호	의미	설명
$1$	자연수 1
	곱셈 항등원	일반적으로 군의 곱셈의 항등원을 1로 표기한다.
$0$	정수 0
	덧셈 항등원	일반적으로 군의 덧셈의 항등원을 0으로 표기한다.
$\pi$	원주율	$\pi$는 원의 지름에 대한 둘레의 비율이다. 해석적으로는 사인 함수가 0이 되도록 하는 가장 작은 양수로 정의된다.
$e$	자연로그의 밑	$e$는 $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$로 정의되는 초월수이다.
$i$	허수 단위	$i$는 제곱해서 -1이 되는 복소수이다. ${\sqrt {-1}}$로 쓰기도 한다.

• $\gcd(a,b)$ 최대공약수
• $\operatorname {lcm} (a,b)$ 최소공배수
• ${\bar {x}},{\overline {a-bi}}$ 켤레복소수
• $\mathbf {ReC}$ 복소수의 실수부
• $\mathbf {ImC}$ 복소수의 허수부

• $B_{n}$ 베르누이 수 또는 벨 수
• $\left\langle {n \atop m}\right\rangle$ 오일러 수
• $E_{n}$ 오일러 수

미적분학 및 해석학 기호

기호	의미	설명	예시
$\Box |_{\Box =\Box }$	대입	$f(x)|_{x=a}$는 $x$에 대한 함수 $f$에 $a$를 대입한 값 $f(a)$를 의미한다. $f(x)|_{x=a}^{x=b}$는 $f(b)-f(a)$를 의미한다.	$f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2$에 대해 $f(x,y)|_{(x,y)=(0,1)}=0^{2}+1^{2}-2=-1$. $\sin x|_{0}^{\pi }=\sin \pi -\sin 0=0$
$\lim$	극한	함수의 극한 또는 수열의 극한 참고	$\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0$
$\Box '$ $\Box ^{(\Box )}$	미분의 라그랑주 표기법	$f'$은 함수 $f$의 도함수를 의미한다. $f'',f'''$은 각각 함수 $f$의 이계 도함수와 삼계 도함수를 의미한다. $f^{(n)}$은 $f$의 $n$계 도함수를 의미한다.	함수 $f(x)=x^{2}$에 대해 $f'(x)=2x$
${\dot {\Box }}$	미분의 뉴턴의 표기법	${\dot {x}}$는 일반적으로 시간 $t$에 의존하는 변수 $x$의 도함수를 의미한다.	$x$가 물체의 위치를 의미하는 변수이면 ${\dot {x}}$는 물체의 속도를 의미한다.
${\frac {d\Box }{d\Box }}$	미분의 라이프니츠의 표기법	${\frac {dy}{dx}}$는 변수 $x$에 의존하는 변수 $y$의 도함수를 의미한다. ${\frac {df}{dx}}$는 단일 변수 $x$에 의존하는 함수 $f$의 도함수를 의미하고, ${\frac {df}{dx}}(a)$는 $a$에서의 도함수의 값을 의미한다.	함수 $f(x)=x^{2}$에 대해 ${\frac {df}{dx}}=2x$
$\partial$	편미분	$f_{x_{i}}$, ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$, $\partial _{x_{i}}f$, ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f$는 변수 $x_{1},\cdots ,x_{n}$에 의존하는 함수 $f(x_{1},\cdots ,x_{n})$의 $x_{i}$에 대한 편미분을 의미한다.	$f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}$에 대해 ${\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y$
	경계	$\partial S$는 위상 공간의 부분 공간 $S$의 경계를 의미한다.	$\partial \mathbb {Q} =\mathbb {R}$
$\int$	부정적분	$\int f(x)dx$는 도함수가 $f$인 함수를 의미한다.	$\int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C$
	정적분	$\int _{a}^{b}f(x)dx$는 구간 $[a,b]$ 위에서 정의된 함수 $f(x)$의 정적분을 의미한다.	$\int _{a}^{b}x^{2}dx={\frac {b^{3}-a^{3}}{3}}$
	선적분	$\int _{C}f\ ds$는 곡선 $C$ 위의 함수 $f$의 선적분을 의미한다.
$\oint$	폐곡선의 선적분, 경로적분	$\oint _{C}f\,ds$ 또는 $\int _{C}f\,ds$는 폐곡선 $C$ 위의 함수 $f$의 선적분을 의미한다.	복소평면 위의 단위원 $C$에 대해 $\oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=2\pi i$
$\iint$	이중적분, 면적분	$\iint _{S}f\mathrm {\,} dS$는 곡면 $S$ 위의 함수 $f$의 면적분을 의미한다.
	폐곡면의 면적분	$S$ $f\,dS$는 폐곡면 $S$ 위의 함수 $f$의 면적분을 의미한다.
$\nabla$	델 연산자	$\nabla$는 스칼라 함수의 기울기, 또는 벡터 함수의 발산, 회전 등을 나타내는 데 사용하는 벡터 연산자이다. 벡터 미적분학 및 델 참고.	함수 $f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)$에 대해 $\nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}=(2,6y,-\cos(z))$
$\Delta$	증분	$\Delta x$는 독립 변수 $x$의 변화량을 의미한다.
	유한차분	$\Delta f$ 또는 $\Delta [f]$는 함수 $f$의 차분 $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$를 의미한다.
	라플라시안	$\Delta f,\nabla ^{2}f,\nabla \cdot \nabla f$는 함수 $f$의 라플라시안을 의미한다.
$*$	합성곱	$f*g$는 함수 $f$와 $g$의 합성곱 $\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$을 의미한다.
$d(\Box ,\Box )$	거리	$d(x,y)$는 거리 공간의 원소 $x$와 $y$ 사이의 거리를 의미한다.	좌표평면 위의 두 점 $x=(x_{1},x_{2})$와 $y=(y_{1},y_{2})$에 대해 $d(x,y):={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}$
$\operatorname {diam} (\Box )$	지름	$\operatorname {diam} (S)$는 거리 공간의 부분집합 $S$에 속하는 두 점 사이의 거리의 상한이다.
$B_{\Box }(\Box )$ $B_{\Box }[\Box ]$	공	$B_{r}(x)$는 주어진 거리 공간 $(X,d)$의 원소 $x$와 실수 $r$에 대해 $B_{r}(x)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$을 의미한다. $B_{r}[x]$는 $B_{r}[x]=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}$을 의미한다.
$\operatorname {Res} (f,z_{0})$	유수	$\operatorname {Res} (f,z_{0})$는 유리형 함수 $f$의 고립 특이점 $z_{0}$에서의 유수를 의미한다.	$\operatorname {Res} ({\frac {1}{z}},0)=1$

• $O$ 또는 $o$ 빅 오(Big O), 리틀 오(little o), 점근 표기법

• $\delta \!\,$ 크로네커 델타,텐서
• $\Box \!\,$ 달랑베르시안 연산자
• $D\!\,$ 디랙 연산자
• $\uparrow$ 커누스 윗화살표 표기법 연산자
• ${\hat {a}}$ 추정량, 단위벡터
• $M(x,y)$, $agm(x,y)$ 산술 기하 평균

함수

기호	의미	설명	예시
$\sin$ $\cos$ $\tan$ $\csc$ $\sec$ $\cot$	삼각함수	삼각함수 참조.	$\sin({\frac {\pi }{6}})={\frac {1}{2}}$ $\sec({\frac {\pi }{3}})=2$
$\arcsin$ $\arccos$ $\arctan$ $\operatorname {arccsc}$ $\operatorname {arcsec}$ $\operatorname {arccot}$	역삼각함수	역삼각함수 참조.	$\arcsin(1)={\frac {\pi }{2}}$ $\arctan(0)=0$
$\sinh$ $\cosh$ $\tanh$ $\operatorname {csch}$ $\operatorname {sech}$ $\coth$	쌍곡선 함수	쌍곡선 함수 참조.	$\sin({\frac {\pi }{6}})={\frac {1}{2}}$ $\sec({\frac {\pi }{3}})=2$
$\operatorname {arcsinh}$ $\operatorname {arccosh}$ $\operatorname {arctanh}$ $\operatorname {arccsch}$ $\operatorname {arcsech}$ $\operatorname {arccoth}$	역쌍곡함수	쌍곡선 함수 참조.
$\log$ $\ln$	로그	$\log _{a}x$는 수 $a$를 거듭제곱해 $x$가 되도록 하는 수를 의미한다. $\ln x$ 또는 $\log x$는 $a$가 $e$인 자연로그를 의미한다. $\log x$는 $a$가 10인 상용로그로 쓰이기도 한다. 로그의 엄밀한 정의는 로그 참고.

• $Ei(x)$ 지수 적분 함수
• $Li(x)$ 로그 적분 함수

대수학 기호

선형대수학

기호	의미	설명	예시
${\begin{pmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{pmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{bmatrix}}$	행렬	$i$번째 행 $j$번째 열의 성분이 $a_{ij}$인 $m\times n$ 행렬을 ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$ 또는 ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$로 표기한다. $\left(a_{ij}\right),\left[a_{ij}\right]$ 또는 $\left(a_{ij}\right)_{1\leq i\leq m,\;1\leq j\leq n}$로 표기하기도 한다.	$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&9&-13\\20&5&-16\end{pmatrix}}$
$\Box ^{-1}$	역행렬	$\mathbf {A} ^{-1}$은 행렬 $\mathbf {A}$의 역행렬을 의미한다.	$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}$에 대해 $\mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}$
$\Box ^{\operatorname {T} }$ $\Box ^{\top }$ $^{\operatorname {t} }\Box$ $\Box '$ $\Box ^{\operatorname {tr} }$	전치 행렬	$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$, $\mathbf {A} ^{\top }$, $^{\operatorname {t} }\mathbf {A}$, $\mathbf {A} '$, $\mathbf {A} ^{\operatorname {tr} }$는 행렬 $\mathbf {A}$의 전치 행렬을 의미한다.	${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}$
$\Box ^{H}$ $\Box ^{*}$ $\Box ^{\dagger }$ $\Box '$	켤레 전치	$\mathbf {A} ^{H}$, $\mathbf {A} ^{*}$,$\mathbf {A} ^{\dagger }$, $\mathbf {A} '$는 복소 행렬 $\mathbf {A}$의 켤레 전치를 의미한다.	$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{pmatrix}}$에 대해 $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{pmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{pmatrix}}$
$\Box ^{*}$	쌍대 공간	$V^{*}$은 벡터 공간 $V$의 쌍대 공간을 의미한다.
$\Box ^{\times }$ $\Box ^{*}$	환의 가역원으로 이루어진 곱셈군	환 $R$에 대해 $R^{\times }$ 또는 $R^{*}$은 $R$의 가역원들의 집합을 의미한다. $R$이 체인 경우 $R^{\times }=R\setminus \{0\}$이다.	$\mathbb {Z} ^{\times }=\{1,-1\}$ $\mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}$
$\operatorname {adj}$	고전적 수반 행렬	$\operatorname {adj} \mathbf {A}$는 행렬 $\mathbf {A}$의 여인자 행렬의 전치 행렬이다.	$\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{pmatrix}}$
$\operatorname {det}$ $|\Box |$	행렬식	$\operatorname {det} \mathbf {A}$ 또는 $|\mathbf {A} |$는 행렬 $A$의 행렬식을 의미한다.	$\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.$
$I_{n}$ $I$	단위 행렬	$I_{n}$은 $n\times n$ 단위 행렬을 의미한다. 행렬의 크기가 중요하지 않거나 생략해도 되는 경우 $I$로 쓰기도 한다.	$I_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
$\operatorname {diag}$	대각 행렬	$\operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{n})$는 $i$번째 대각 성분이 $d_{i}$인 대각 행렬이다.	$\operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{n})={\begin{pmatrix}d_{1}\\&d_{2}\\&&\ddots \\&&&d_{n}\end{pmatrix}}$
$\operatorname {tr}$	대각합	$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )$는 정사각 행렬 $\mathbf {A}$의 주대각선 성분들의 합이다.	$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}$에 대해 $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=1+5+(-5)=1$
$\sim$	행렬의 닮음	$A\sim B$는 행렬 $A$와 $B$가 닮음임을 의미한다.
$\cdot$	스칼라곱	u ⋅ v은 벡터 u과 v의 스칼라곱을 의미한다.	$(1,2,5)\cdot (3,4,-1)=1\cdot 3+2\cdot 4+5\cdot (-1)=6$
$\times$	벡터곱	u × v는 벡터 u과 v의 벡터곱을 의미한다.	$(1,2,5)\times (3,4,-1)={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\1&2&5\\3&4&-1\end{vmatrix}}=(-22,16,-2)$
$\langle \Box ,\Box \rangle$	내적	$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$는 내적 공간 $V$의 원소 $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$의 내적을 의미한다. 내적 공간 참조.	실수에서 원소 $x,y\in \mathbb {R}$의 내적은 $\langle x,y\rangle :=xy$
$\perp$	직교	$\mathbf {u} \perp \mathbf {v}$는 두 벡터 $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$의 내적이 0임을 의미한다.
$\otimes$	외적	$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$는 벡터 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$의 외적을 의미한다.	$\mathbf {u} ={\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}},\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}}$에 대해 $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}1\cdot 3&1\cdot 4&1\cdot (-1)\\2\cdot 3&2\cdot 4&2\cdot (-1)\\5\cdot 3&5\cdot 4&5\cdot (-1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4&-1\\6&8&-2\\15&20&-5\end{pmatrix}}$
	텐서곱	$V\otimes W$은 벡터 공간 $V$와 $W$의 텐서곱을 의미한다.

추상대수학

기호	의미	설명	예시
$*$	이항 연산	임의의 이항 연산을 나타낼 때 일반적으로 $*$를 사용한다.	군 $G$는 이항 연산 $*$가 주어진 집합 $(G,*)$이다.
$\times$ $\prod$	직접곱	$X\times Y$는 군, 가군, 위상 공간 등의 대수 구조 $X,Y$의 직접곱을 의미한다. $\prod _{i\in I}X_{i}$은 군, 가군, 위상 공간 등의 대수 구조들의 모임 $\{X_{i}\}_{i\in I}$의 직접곱을 의미한다.	$Z_{2}\times Z_{3}\simeq Z_{6}$
$\ltimes$ $\rtimes$	반직접곱	$N\rtimes H$ 또는 $H\ltimes N$은 군 $N$과 $H$의 반직접곱을 의미한다.	$D_{2n}\simeq Z_{n}\rtimes Z_{2}=Z_{n}\ltimes Z_{2}$
$\oplus$	직합	$V\oplus W$은 벡터 공간, 아벨 군, 가군 등의 대수 구조 $V$와 $W$의 직합을 의미한다. $\bigoplus _{i\in I}V_{i}$은 벡터 공간, 아벨 군, 가군 등의 대수 구조들의 모임 $\{V_{i}\}_{i\in I}$의 직합을 의미한다. $I$가 유한 집합인 경우 직접곱과 같다.
$\coprod$	쌍대곱	$\coprod _{i\in I}X_{i}$는 범주 ${\mathcal {C}}$의 대상의 집합 $\{X_{i}\}_{i\in I}$의 쌍대곱을 의미한다.
$\wr$	화환곱	$(G,A)\wr (H,B)$은 반군 $G,H$가 각각 집합 $A,B$의 오른쪽에서 작용할 때 $(G,A)$와 $(H,B)$의 화환곱을 의미한다.
$\leq$ $\geq$	부분군	$H\leq G$는 군 $H$가 군 $G$의 부분군임을 의미한다.	$5\mathrm {Z} \leq \mathrm {Z}$ $\mathrm {A} _{3}\leq \mathrm {S} _{3}$
$<$ $>$	진부분군	$H<G$는 군 $H$가 군 $G$의 진부분군임을 의미한다.	$5\mathrm {Z} <\mathrm {Z}$ $\mathrm {A} _{3}<\mathrm {S} _{3}$
$\triangleleft$ $\triangleright$	정규 부분군	$N\triangleleft G$ 또는 $G\triangleright N$는 $N$이 $G$의 정규 부분군임을 의미한다.	군 $G$에 대해 $Z(G)\triangleleft G$
$/$	몫공간	몫집합, 몫군, 몫환 등 몫공간을 나타낼 때 사용한다. 예를 들어 군 G, N에 대해 $G/N$은 몫군을 의미한다.	$X/\sim$ $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}+1)$
	체의 확대	$F/E$는 체 F가 체 E의 확대임을 의미한다.	$\mathbb {C} /\mathbb {R}$

괄호 기호

기호	의미	설명	예시
$()$	연산 순서	$()$ 안의 연산을 먼저 수행해야 함을 의미한다.
$(\Box ,\Box )$	순서쌍, 2차원 좌표	$(a,b)$는 두 대상 $a,b$의 순서쌍을 의미한다. 2차원 좌표계의 점을 순서쌍으로 나타낸다.
$(\Box ,\cdots ,\Box )$	튜플, 좌표	$(a_{1},\cdots ,a_{n})$은 대상 $a_{1},\cdots ,a_{n}$의 $n$-튜플을 의미한다. n차원 좌표계의 점을 튜플로 나타낸다.
$(\Box ,\Box )$ $[\Box ,\Box ]$ $(\Box ,\Box ]$ $[\Box ,\Box )$	구간	$(a,b)$는 $a$보다 크고 $b$보다 작은 원소들로 이루어진 열린구간이다. $[a,b]$는 $a$보다 크거나 같고 $b$보다 작거나 같은 원소들로 이루어진 닫힌구간이다. $[a,b)$는 $a$보다 크거나 같고 $b$보다 작은 원소들로 이루어진 반열린구간이다. $(a,b]$는 $a$보다 크고 $b$보다 작거나 같은 원소들로 이루어진 반열린구간이다.
$||\Box ||$	노름	$||x||$는 노름 공간의 원소 $x$의 노름을 의미한다.
$\lfloor \cdot \rfloor$ $[\cdot ]$	바닥함수	$\lfloor x\rfloor$ 또는 $[x]$는 실수 $x$보다 같거나 작은 가장 큰 정수를 의미한다.	$\lfloor 1.7\rfloor =1$
$\lceil \cdot \rceil$	천장함수	$\lceil x\rceil$는 실수 $x$보다 같거나 큰 가장 작은 정수를 의미한다.	$\lceil 1.7\rceil =2$
$\{\cdot \}$	부분 분수 함수	$\{x\}$는 실수 $x$에 대해 $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$을 의미한다.	$\{1.7\}=0.7$
$\langle \ |$	브라 벡터	⟨φ|는 벡터 |φ⟩의 쌍대를 의미한다.
$|\ \rangle$	켓 벡터	|φ⟩는 φ 표시와 함께 표기되는 벡터를 의미한다. 힐베르트 공간 안에 있다.

• $[n]_{q}$큐-아날로그(큐-브라켓)
• $(a;{\color {red}{q}})_{n}$큐-포흐하머 기호(q-Pochhammer symbol) 또는 큐-쉬프티드 팩토리얼(q-shifted factorial)

미분류 기호

기호	의미	설명	예시
$\infty$	무한	$\infty$는 어떤 값의 상한 또는 하한이 존재하지 않음을 나타내거나, 어떤 자연수 또는 실수보다도 큰 상태를 의미하거나, 연산이 끝없이 수행함을 의미하거나, 집합의 크기를 나타내거나, 무한원점을 나타낼 때 사용하는 기호이다.	$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}=\infty$ $\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$ 리만 구 $\mathbb {C} _{\infty }$는 복소수 $\mathbb {C}$에 $\infty$를 추가하여 구조를 부여한 복소다양체이다.
$\mid$	약수	$m\mid n$은 정수 $m$이 정수 $n$의 약수임을 의미한다.	$7\mid 42$
$\nmid$	약수가 아님	$m\nmid n$은 정수 $m$이 정수 $n$의 약수가 아님을 의미한다.	$5\nmid 42$
$\parallel$	평행	$l_{1}\parallel l_{2}$는 두 선분 혹은 직선 $l_{1},l_{2}$가 서로 평행함을 의미한다.
$\perp$	수직	$l_{1}\perp l_{2}$는 두 선분 혹은 직선 $l_{1},l_{2}$가 서로 수직임을 의미한다.
$\circ$	도	$\circ$는 1회전을 360등분한 평면 각도의 단위를 의미한다.	$90^{\circ }$
$'$	분	$1'$은 $1^{\circ }$를 60등분한 평면 각도의 단위를 의미한다.
$''$	초	$1''$는 $1'$을 60등분한 평면 각도의 단위를 의미한다.
$\operatorname {rad}$	라디안	$\operatorname {rad}$는 단위원 중심각에 해당하는 호의 길이와 값이 같도록 하는 평면 각도의 단위를 의미한다. 수학에서는 일반적으로 라디안 단위를 생략한다.	$\pi \operatorname {rad} =180^{\circ }$
$\operatorname {sr}$	스테라디안	$\operatorname {sr}$는 단위구 중심각에 해당하는 곡면의 넓이와 값이 같도록 하는 입체각의 단위를 의미한다.
$!$	계승	자연수 $n$에 대해 $n!$는 $1\times 2\times \cdots \times n$을 의미한다.	$4!=1\times 2\times 3\times 4=24$
	준계승	자연수 $n$에 대해 $!n$는 $n$개의 원소에 대한 완전순열의 수를 의미한다.	$!n={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e}}=\left[{\frac {n!}{e}}\right]$
${}_{\Box }P_{\Box }$	k-순열	${}_{n}P_{k}$는 서로 다른 $n$개의 원소에서 중복 없이 $k$개를 골라 순서 있게 나열할 수 있는 경우의 수를 의미한다. $n^{\underline {k}},P_{n,k},P(n,k)$로도 쓴다.	${}_{5}P_{2}=5\cdot 4=20$
${\binom {\Box }{\Box }}$ ${}_{\Box }C_{\Box }$	이항 계수	${\binom {n}{k}}$ 또는 ${}_{n}C_{k}$는 이항식을 이항 정리로 전개했을 때 각 항의 계수를 의미한다. ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$와 같은 값이며, $C(n,k)$로도 쓴다.	${\binom {5}{2}}={\frac {5!}{2!(5-2)!}}=10$
$P(\Box /\Box )$ $P(\Box \mid \Box )$	조건부 확률	$P(A/B)$ 또는 $P(A\mid B)$는 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$가 일어날 조건부 확률을 의미한다.
$\sim$	확률 분포	확률 변수가 특정 확률 분포를 따름을 나타낼 때 사용한다.	확률 변수 $X$가 표준 정규 분포를 따를 때, $X\sim N(0,1)$라 쓴다.

• $\sigma \!\,$ 약수 함수
• $*$ 클레이니 스타 또는 복소켤레
• $x^{\overline {n}},\;\;(x)^{n},\;\;x_{(x)},\;\;x^{\underline {n}}$ 포흐하머 기호(상승 팩토리얼, 하강 팩토리얼)
• ${}^{\dagger }\!\,$ 소멸자 및 생성자

수식이 아닌 기호

기호	의미	설명	예시
$:$	그러한 (such that); ...하기 위해서(so that)	:는 "그러한 (such that)" 또는 "...하기 위해서(so that)"를 의미하며, 증명이나 조건제시법에서 쓰인다.	∃ n ∈ ℕ: n는 홀수이다.
$\therefore$	그러므로; 따라서	증명에서 논리적 귀결 앞에 쓰인다.	인간은 도덕적이다. 소크라테스는 인간이다. ∴소크라테스는 도덕적이다. (단, 이것은 항상은 아니다. 예 : 사람은 동물이다. 사자는 동물이다. ∴사람은 사자이다. 이것은 모순이다.)
$\because$	왜냐하면	증명에서 근거 앞에 사용된다.	11은 소수이다. ∵ 그 자신과 1 이외에 다른 약수를 가지고 있지 않기 때문이다.
$\blacksquare$ $\Box$ $\blacktriangleright$	Q.E.D.	증명이 끝났음을 의미한다.	(중략) 따라서 증명이 완료된다. ■

약자

기호	의미	설명
$e.g.$ $ex$	예를 들면(for example)
$s.t.$	such that	앞의 문장이 후술하는 조건을 충족시킴을 의미한다.
$i.e.$	바꾸어 말하면(that is 또는 [áiìː])
${\textrm {iff}}$	if and only if	양쪽 문장이 서로 필요충분조건임을 의미한다.
${\textrm {viz}}$	즉(namely)
${\textrm {def}}$	정의(definition)
${\textrm {thm}}$	정리(theorem)
${\textrm {pf}}$	증명(proof)
${\textrm {sol}}$	풀이(solution)
$WLOG$	일반성을 잃지 않고(without loss of generality)
$TFAE$	the following are equivalent	다음에 서술하는 조건들이 동치임을 의미한다.
$WTS$	want to show	다음에 서술하는 것을 증명하려 함을 의미한다.
${\textrm {iid}}$	independently and identically distributed	주어진 확률 분포가 독립항등분포임을 의미한다.

같이 보기

• 위키백과:TeX 문법(수학 기호)
• 분류:인쇄 약물
• 수학 상수
• 기호의 남용