고전역학 에서, 두 물체의 환산 질량 (換算質量 , reduced mass )은 두 물체의 질량의 조화 평균 의 절반이다. 이체 문제 의 풀이에 등장한다.
서로 상호작용하는 두 점입자로 이루어진 계 를 생각하자. 두 입자의 질량이 각각
m
1
{\displaystyle m_{1}}
과
m
2
{\displaystyle m_{2}}
라고 하면, 두 입자의 운동 방정식은 다음과 같다.
m
1
r
¨
1
=
F
12
{\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}=\mathbf {F} _{12}}
m
2
r
¨
2
=
F
21
=
−
F
12
{\displaystyle m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}=\mathbf {F} _{21}=-\mathbf {F} _{12}}
.
따라서, 두 입자 사이의 거리
r
=
r
1
−
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}
를 기술하는 미분 방정식은 다음과 같다.
1
1
/
m
1
+
1
/
m
2
r
¨
=
F
12
{\displaystyle {\frac {1}{1/m_{1}+1/m_{2}}}{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}}
.
이는 질량이
μ
=
1
1
/
m
1
+
1
/
m
2
=
m
1
m
2
m
1
+
m
2
{\displaystyle \mu ={\frac {1}{1/m_{1}+1/m_{2}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}
인 하나의 입자를 나타내는 운동 방정식으로 해석할 수 있다. 따라서, 원래의 이체 문제 는 질량이
μ
{\displaystyle \mu }
인 하나의 입자를 다루는 일체 문제와 동등하다. 여기서
μ
{\displaystyle \mu }
를 원래 이체 문제의 환산 질량 이라 한다.
환산 질량
μ
{\displaystyle \mu }
는 항상
μ
<
m
1
{\displaystyle \mu <m_{1}}
과
μ
<
m
2
{\displaystyle \mu <m_{2}}
를 만족한다. 또한, 만약
m
1
<
m
2
{\displaystyle m_{1}<m_{2}}
라면 항상
m
1
<
2
μ
<
m
2
{\displaystyle m_{1}<2\mu <m_{2}}
다. 이는
2
μ
{\displaystyle 2\mu }
가
m
1
{\displaystyle m_{1}}
과
m
2
{\displaystyle m_{2}}
의 조화 평균 이기 때문이다.
만약 한 물체가 다른 한 물체보다 매우 무겁다면, 두 물체의 환산 질량은 둘 가운데 더 가벼운 물체의 질량에 수렴한다. 즉, 만약
m
1
≫
m
2
{\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}
라면
μ
≲
m
2
{\displaystyle \mu \lesssim m_{2}}
이고, 반대로
m
1
≪
m
2
{\displaystyle m_{1}\ll m_{2}}
라면
μ
≲
m
1
{\displaystyle \mu \lesssim m_{1}}
이다. 따라서, 예를 들어 지구와 태양을 고려할 경우 환산 질량은 지구의 질량에 매우 가깝고, 수소 원자에서 환산 질량은 전자 의 질량에 매우 가깝다.
같이 보기 [ 편집 ]