군론에서 사원수군(四元數群, 영어: quaternion group)은 단위 사원수 i, j, k로 생성되는 유한군이다.
사원수군은 원소의 개수가 8개인 비아벨 군이다. 사원수군은 흔히 Q로 표기되며, 다음의 원소들로 구성되어 있다.
- Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}
여기에서 1은 항등원을 나타내며 (-1)2 = 1이 성립한다. 또한 Q의 임의의 원소 a에 대해 (-1)a = a(-1) = -a가 성립한다. 이 외에도 원소들간에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
사원수군의 군 표(Cayley table)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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1 |
−1 |
i |
−i |
j |
−j |
k |
−k
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1
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1 |
−1 |
i |
−i |
j |
−j |
k |
−k
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−1
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−1 |
1 |
−i |
i |
−j |
j |
−k |
k
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i
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i |
−i |
−1 |
1 |
k |
−k |
−j |
j
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−i
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−i |
i |
1 |
−1 |
−k |
k |
j |
−j
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j
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j |
−j |
−k |
k |
−1 |
1 |
i |
−i
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−j
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−j |
j |
k |
−k |
1 |
−1 |
−i |
i
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k
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k |
−k |
j |
−j |
−i |
i |
−1 |
1
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−k
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−k |
k |
−j |
j |
i |
−i |
1 |
−1
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표를 살펴보면, 이 군이 비가환군이라는 사실을 확인할 수 있다. 즉 교환법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어 ij = -ji이다.
행렬 표현[편집]
사원수군은 GL2(C)의 부분군으로 나타낼 수 있다.[1] 의 원소들은 각각 다음 행렬에 대응된다.
여기에서 는 허수 단위이다.
자기 동형[편집]
사원수군의 중심은 이며, 사원수군의 교환자 부분군 역시 이다. 이에 대한 몫군(내부 자기 동형군)은 클라인 4원군 이다.
사원수군의 자기 동형군은 4차 군론 이다. 외부 자기 동형군은 이다.
부분군[편집]
사원수군의 부분군은 (자명군과 스스로를 포함하여) 총 6개가 있으며, 이들은 다음과 같다.
- 크기 8:
- 크기 4: . 이들은 모두 4차 순환군 와 동형이다. 이에 대한 몫군은 2차 순환군이다.
- 크기 2: . 이는 2차 순환군과 동형이다. 이에 대한 몫군은 클라인 4원군과 동형이다.
- 크기 1: 자명군
이들은 모두 정규 부분군이다. 즉, 사원수군은 데데킨트 군을 이룬다.
- ↑ Thomas W. Hungerford. 《Algebra》. Springer-Verlag. 33쪽.
같이 보기[편집]